Приведенная податливость ременной передачи

1 2

Приведенная крутильная податливость ременной передачи определяется по формуле:

, , (2.12)

где l - длина рабочей ветви ремня, м;

E - модуль упругости материала ремня, Н/м²;

F - площадь поперечного сечения ремня, м²;

D – диаметр того шкива, который находиться на валу привидения, м.

2.2.5. Приведение податливостей последовательно соединенных упругих связей, находящихся на каждом валу.

При последовательном соединении упругих элементов с известными податливостями е_i податливость эквивалентного элемента e*, потенциальная энергия которого равна потенциальной энергии исходных упругих элементов, равна

, , (2.13)

где n- количество упругих элементов.

Определим податливости упругих связей, эквивалентные последовательно соединенным упругим связям, находящимся на каждом валу, в (рад/Н·м):

e*_I = e_I + e_ШП = (9,696 + 8,53)·10^-5 = 18,229·10^-5;

e*_II = e_II + e_ШП + e_ШЛ = (6,127 + 5,267 + 0,617)·10^-5 = 12,011·10^-5;

e*_III = e_III + e_ШП + e_ШП = (1,044 + 3,87 + 3,87)·10^-5 = 8,784·10^-5;

e*_IV = e_IV + e_ШП + e_ШП = (2,704 + 2,963 + 2,963)·10^-5 = 8,63·10^-5.

На рис. 2.1 покажем исходную динамическую модель как систему инерционных элементов, соединённых упругими связями. Податливости зубчатых передач помещаем в местах зацепления колес на схеме.

Подставим в схему найденные числовые значения, порядок величин (10^-5 для податливостей и 10^-3 для моментов инерции) на схеме опущен (рис. 2.2).

Рис. 2.2 – Исходная динамическая модель с учетом числовых значений.

Рис. 2.1 –Исходная динамическая модель.

2.3.Приведение масс и податливостей к валу приведения (построение рядной многомассовой модели).

Динамическая модель привода станка представляет собой многомассовую модель с сосредоточенными массами (моменты инерции которых известны), соединенными между собой с помощью упругих элементов (податливости которых известны).

Заменим исходную модель эквивалентной, рядной. Кинетическая энергия рядной модели равна кинетической энергии исходной упрощенной модели. Поэтому момент инерции к-ой массы I_к, находящейся на i-том валу, приведенный к валу приведения (в данном примере это вал IV) равен:

(2.14)

где - передаточные отношения (формула (1.1)) от i-того вала к валу приведения.

Потенциальная энергия упругих сил рядной модели равна потенциальной энергии упругих сил динамической исходной упрощенной модели привода станка. Приведенная к валу приведения (валу IV) податливость i-того вала вычисляется по формуле:

(2.15)

Податливости зубчатых передач раньше были помещены на определенные валы (таблица 2.6). Приведенные к валу приведения (валу IV) податливости зубчатых передач определяются также по формуле (2.15).

Моменты инерции и податливости, находящиеся на валу привидения (в данном случае на валу IV), приводить не надо.

Поместим результаты расчетов в таблицу 2.8, а рядную многомассовую систему, приведенную к валу приведения (валу IV), изобразим на рис. 2.3.

Таблица 2.8 - Приведенные к валу IV моменты инерции и податливости.

Номер вала	Приведенный момент инерции I^ПР10^-3, кг·м²	Приведенная податливость е^ПР ·10^-5 рад/Н·м	Податливость зубчатой передачи е^ПР_ЗП ·10^-5 рад/Н·м
I	I^ПР_P = 85,256; I^ПР₃ = 0,3905;	e^ПР_I =12,837;	-
II	I^ПР ₄ = 0,122; I^ПР_5,7,9 = 0,126;	e^ПР_II = 12,011;	e^ПР_3,4 = 0,0871;
III	I^ПР₁₀ = 0,4975; I^ПР₁₁ = 0,5025;	e^ПР_III = 17,568;	e^ПР_9,10 = 0,0642;
IV	I₁₂ = 1,53; I_ШП = 250,54.	e_IV = 8,63.	e_11,1₂ = 0,1284.

Рис. 2.3 – Рядная многомассовая модель

На рис. 2.3 опущены порядки величин (10^-3 для моментов инерции и 10^-5 для податливостей).

III. Определение основной частоты крутильных колебаний.

Приступая к определению частот крутильных колебаний, мы уже имеем упрощенную расчетную модель (рядную), состоящую из одного вала с насаженными на него сосредоточенными массами, которые соединены упругими участками вала известной крутильной жесткости (податливости). Эта модель имеет столько собственных частот, сколько у нее степеней свободы.

При работе станка диапазон возмущающих сил таков, что он не требует знания высших частот, поэтому колеблющуюся систему сводят к системе с меньшим числом степеней свободы. Проще всего расчёт будет выглядеть, если удастся построить модель с двумя (или одной) степенями свободы. Но при этой замене частоты исходной и упрощенной систем должны совпадать.

Рассмотрим два способа упрощения рядной модели. Первый основан на разбиении многомассовой модели на системы одномассовые (I тип) и двухмассовые (II тип). Второй способ состоит в упрощении рядной многомассовой модели методом А.П. Черевкова.

Прежде чем преступать к определению основной частоты крутильных колебаний одним из методов следует перенумеровать осевые моменты инерции и податливости (рис. 3.1).

Рис. 3.1 – Рядная многомассовая модель

3.1. Способ парциальных систем.

Рассмотрим две типичные, так называемые, парциальные системы, на которые можно разбить любую рядную модель.

I-й тип. Два участка безынерционного вала с насаженной между ними массой (рис.3.2).

Собственная частота для парциальной системы I типа определяется по формуле

(3.1)

II тип. Участок безынерционного вала с двумя насаженными сосредоточенными массами по краям этого участка (рис.3.2).

Собственная частота для парциальной системы II типа определяется по формуле

(3.2)

Метод уменьшения числа степеней свободы основан на том, что парциальную систему I типа можно заменить парциальной системой II типа, при этом новые моменты инерции и податливости вычисляются как показано на рис. 3.3.

Парциальную систему II типа можно заменить парциальной системой I типа; при этом новые моменты инерции и податливости вычисляются как показано на рис. 3.4.

Как показано, [6,стр.40-44], собственные частоты при таких заменах парциальной системы I типа сиcтемой II типа (рис.3.3) и парциальной системы II типа системой I типа (рис.3.4) не изменяются. Применим метод парциальных систем для нашего примера.

Рассчитываем частоты для нашей рядной модели, разбив её на парциальные системы по первому типу, используя формулу (3.1):

Рассчитываем частоты для нашей рядной модели, разбив её на парциальные системы по второму типу, используя формулу (3.2):

После расчётов получаем систему с парциальными частотами (Рис.3.6).

Вверху обозначены частоты для парциальных систем II типа, внизу – частоты для парциальных систем I типа.

Из схемы видно, что наибольшая частота находится на промежутке между массами с моментами инерции I₂,I₃. Поэтому заменяем её парциальной системой первого типа, согласно вспомогательным формулам (Рис.3.4):

Перенумеруем массы

Тогда упрощённая семимассовая система будет иметь вид, изображенный на рис. 3.7.

Здесь

взяты с восьмимассовой системы.

На рис.3.7 наибольшую частоту имеет парциальная система II типа . Заменяем её парциальной системой первого типа, согласно формулам рис.3.4.

Следующие расчеты ведём аналогично, до тех пор, пока наша система с парциальными частотами не примет окончательный и простой двухмассовый вид.

Ответ: основная частота равна 198,6 с^-1.

3.2. Способ А.П. Черевкова для рядной системы с использованием уравнения

частот

Получена, например, восьмимассовая рядная модель (рис. 3.1) с известными осевыми моментами инерции и коэффициентами жесткости (или податливостями). Её можно свести к модели с меньшим числом масс методом А.П. Черевкова, например, к пятимассовой системе, а затем решить уравнение частот с помощью математического редактора MathCad 14 на ПК (смотреть п 3.2.1), либо свести к 4-х или 3-х массовой системе и найти основные частоты по известным уравнениям частот (п. 3.2.2.).

3.2.1 Определение основной частоты крутильных колебаний с помощью математического редактора MathCAD 14

Для составления уравнения частот рядной многомассовой системы используют коэффициенты инерции а_i, равные моментам инерции сосредоточенных масс и коэффициенты жесткости С_i, равные жесткостям упругих участков вала на кручение. Для n-массовой системы имеем: коэффициенты инерции I₁, I₂…I_n_,коэффициенты жесткости С₁, С₂…С_n-1, которые, как известно, обратные податливостям.

Уравнение частот крутильных колебаний получим, раскрыв определитель относительно w² [7, ß36].

(3.3)

Для вычисления основной частоты крутильных колебаний с помощью математического редактора MathCAD 14 необходимо свести 8-ми массовую рядную модель (рис. 2.3) к 5-ти массовой методом А.П. Черевкова.

Метод А.П. Черевкова состоит в том, что для линейной системы к массам с бόльшими моментами инерции прибавляют массы, расположенные подряд на одном и том же валу, с меньшими моментами инерции.

Момент инерции новой массы равен сумме моментов инерции соседних масс:

(3.4)

Податливость участка вала между эквивалентной массой и ближайшей, не подвергшейся приведению, равна:

(3.5)

Например, в нашем случае сведем массы 2, 3, 4, 5 в одну (рис. 3.1). В этом случае осевой момент инерции новой массы будет равен:

Податливость участка вала между полученной массой и ближайшей, не подвергшейся приведению, равна:

Переномеруем податливости и осевые моменты инерции:

; ; ; ;

; ; ; ; .

Для вычисления основной частоты крутильных колебаний с помощью математического редактора MathCAD 14 можно воспользоваться следующим алгоритмом:

1) вводим исходные данные (смотреть рисунок 3.10).

Рис. 3.10. Пример ввода исходных данных.

Рис. 3.11. Пример ввода данных.

Примечание: для того чтобы записать нижний индекс необходимо после параметра ввести знак «.» (смотреть рис. 3.11.), а для того, чтобы присвоить параметру значение необходимо поставить «:» и «=» (смотреть рис. 3.11.), кроме того для разделения целых от десятичных необходимо использовать точку, а не запятую.

2) необходимо согласно формуле (3.3) составить определитель (смотреть рис. 3.12), с помощью команды Добавить (Insert) / Матрицу (Matrix) и ввести число строк и столбцов по 5.

Рис. 3.12. Определитель для пятимассовой системы

3) для преобразования этого определителя в уравнение выделите его (щелкните на нем левой кнопкой мышки и не отпуская ее потяните в сторону) и выберете команду Символика (Symbolies) / Матрицы (Matrix) / Определитель (Determinant).

4) для того чтобы получить полиноминальные коэффициенты этого уравнения щелкните левой кнопкой мышки на полученном уравнении и выберете команду Символика (Symbolies) / Полиноминальные коэффициенты (Polynomial Coefficients).

5) записываем выражение вида , где вместо квадратика необходимо вставить полученные ранее полиноминальные коэффициенты (для вставки выделите коэффициенты, скопируйте их в буфер (кнопки Ctr+Insert или правой кнопкой мышки и копировать), щелкните левой кнопкой мыши на том месте, куда будем копировать и вставьте фрагмент (кнопки Shift+Insert или правой кнопкой мыши и вставить).

6) запишите выражение w= и после знака равно отобразятся корни уравнения.

Меньший из корней будет основной частотой крутильных колебаний многомассовой рядной системы.

3.2.2 Определение основной частоты крутильных колебаний с помощью уравнений частот

Если крутильная система состоит из четырёх масс, имеем после раскрытия определителя уравнение частот [7, ß36]:

. (3.6)

Если система состоит из трёх масс, имеем уравнение частот [7, ß36]:

для n=3

(3.7)

Таким образом, можно получить точные значения частот для динамической модели с небольшим числом сосредоточенных масс (n£5).

3.3. Метод остатков (метод Толле)

Метод остатков заключается в подборе частоты, при которой конечный остаток будет равен нулю. Для восьмимассовой системы расчетные формулы будут выглядеть таким образом:

; ;

; ; (3.8)

; ;

Методика расчета заключается в том, что мы выбираем произвольную величину и принимая вычисляем по формулам (3.8) остаток . Если остаток равен 0, то выбранная частота является основной частотой крутильных колебаний. Если остаток отличен от 0, то необходимо выбрать другую частоту и повторить расчет. Для удобства решения полученные результаты можно представить в виде графика, где по оси абсцисс будем откладывать , а по оси ординат . Точки, в которых кривая пересечет ось абсцисс, будут решением.

Для пятимассовой системы формулы остатком будет , для 4-х массовой и для 3-х массовой .

Основным недостатком данного метода является чувствительность к точности вычислений, а также то, что в некоторых случаях частоты колебаний отличаются на порядок, и подбирать их методом Толле становиться трудоемким занятием. Поэтому метод остатков (метод Толле) удобнее использовать в качестве проверки частоты, полученной другим способом. Следует обратить внимание на то, что чем точнее вы найдете частоту, тем меньший остаток получите.

При решении задач о собственных частотах крутильных колебаний несколькими способами надо сравнить результаты вычисления.

Список литературы:

1. Вейц В.Л. и др. Вынужденные колебания в металлорежущих станках. – М., Л.: «Машгиз», 1959. – 288 с.

2. Маслов Г.С. Расчеты колебаний валов. – М.: «Машиностроение», 1980. – 512 с.

3. Метод парціальних систем визначення основної частоти крутильних коливань багатомасової системи. / Укл. Т.М. Карпенко, М.Н. Гофман – Маріуполь: ПДТУ, 2004. – 18с.

4. Методические указания к разработке динамической модели привода главного движения станка. /Сост.Т.Н. Карпенко и др. – Мариуполь: ММИ, 1992. – 58 с.

5. Орликов М.Л. Динамика станков. – К: «Вища школа», 1989. – 270 с.

6. Ривин Е.И. Динамика привода станков. – М.: «Машиностроение», 1966. – 204 с.

7. Яблонский А.А., Норейко С.С. Курс теории колебаний. – М.: Высшая школа, 1975. – 248 с.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями: