Плоская и сферическая гармонические (незатухающие) волны

Источник плоской волны  колеблющаяся плоскость.

Пусть плоская гармоническая волна распространяется вдоль произвольного направления, образующего с осями координат  углы (проведем через точку О плоскую волновую поверхность).

Колебания в плоскости, проходящей через начало координат, имеют вид:

                                                             ,    (6.2)

где  – амплитуда волны; w – циклическая частота волны;  – начальная фаза волны.

Направление волны задается волновым вектором          

,

где                                                                                      (6.3)

волновое число; скорость перемещения волновой поверхности (фазовая скорость).

Колебания частиц среды относительно волновой поверхности, отстоящей от начала координат на расстояние  параллельно плоскости источника будут отставать от колебаний (6.2) на время ,

. (6.4)

Скалярное произведение  на радиус-вектор  любой из точек волновой поверхности равно , т.е.

.

Тогда

учтя, что , получим

                                                        (6.5)

(6.5) – уравнение плоской незатухающей волны, распространяющейся в направлении .

Скалярное произведение  можно представить через координаты

.

Тогда

,

где , , .

 

Уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси

,  

.

Минимальное расстояние между волновыми поверхностями, колебания точек на которых происходят в одинаковой фазе (синфазно), называется длиной волны

                                      .                                (6.6)

где период колебаний; частота колебаний.

Волна, возбуждаемая в однородной, изотропной среде точечным источником, будет сферической.

Амплитуда колебаний сферической волны, даже если энергия волны не поглощается средой, не остается постоянной, а убывает с расстоянием от источника по закону .

Уравнение сферической незатухающей волны имеет вид

             ,                               (6.7)

где  – расстояние от источника до рассматриваемой точки.

 

Затухающие волны.

При распространении механической волны в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается и наблюдается затухание волны.

Амплитуда затухающей волны:

                                                                                         (6.8)

где коэффициент затухания среды; расстояние от источника.

Тогда                           

                                                 (6.9)

(6.9) – уравнение плоской затухающей волны.

Сферическая волна также будет затухать с расстоянием от источника по экспоненциальному закону:

                                                (6.10)

(6.10) – уравнение сферической затухающей волны.

 

Волновое уравнение.

 

Найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция . Для этого продифференцируем   дважды по , с учетом того, что .

Мы получим дифференциальное уравнение 2-го порядка в частных производных (волновое уравнение)

 

                                 ,                         (6.11)      

где    - оператор Лапласа

Уравнение (6.11) можно записать в виде:

                                     

Решением волнового уравнения (6.11) являются функции (6.5) и (6.7).

Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси , волновое уравнение имеет вид

                                       .

 

                       6.4. Стоячие волны.

Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Это утверждение выражает принцип суперпозиции (наложения) волн.

Особым случаем суперпозиции волн являются стоячие волны – волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами.

На практике стоячая волна возникает в результате наложения бегущей и ее отраженной от некоторой преграды волн.

 Запишем уравнения двух плоских незатухающих волн, распространяющихся вдоль оси  навстречу друг другу:

Пусть , тогда

                                     ,

                             .                      (6.12)

Сложив эти уравнения, получим

                              .               

Учитывая, что , получим уравнение стоячей волны:

                                                  (6.13)

В стоячей волне каждая частица среды колеблется относительно положения равновесия с амплитудой

                                        ,                            (6.14)

называемой амплитудой стоячей волны.

                                    , когда

В точках, где , , частицы среды колеблются с максимальными амплитудами, т.е. , образуя пучности стоячей волны.

Координаты пучностей:        

                                        .                                   (6.15)

А в точках среды, где , , ее частицы покоятся, т.е. . Эти точки называются узлами стоячей волны.

Координаты узлов:                 

                                        .                            (6.16)

Узел, как и пучность, представляют собой не одну точку, а плоскость, точки которой имеют координаты , определяемые формулами (6.15) и (6.16).

Расстояние между соседними пучностями, так же, как и расстояние между соседними узлами, равно .

Стоячие волны не переносят энергию.