Запись произвольных высказываний формулами логики предикатов

В этом параграфе мы поучимся записывать формулами логики предикатов точный логический смысл высказываний по поводу самых разнообразных предметов, которые трудно объединить по каким-то конкретным и определенным признакам: о числах, чувствах людей, химических веществах, температурах, давлениях и т.д.

В этом случае в качестве универсума принимается неопределенно широкая область, заведомо включающая все эти разнообразные предметы. Переменным x, y, z, x ₁…, пробегающим по предметам такого универсума, будут соответствовать неопределенные местоимения «нечто», «некто». В зависимости от контекста и из соображения удобства вместо «нечто» или «некто» можно говорить об индивидах вообще или конкретизировать их как живые существа вообще, люди вообще, вещества вообще, состояния вообще, вещи вообще и т.п.

Существенно важным является то обстоятельство, что в формулах с переменными, пробегающими по такому неопределенно широкому универсуму, мы должны вводить уточнения для общих имен, определяя относящие к ним предметы универсума через указание соответствующих предикатов.

Поясним на примере. Рассмотрим высказывание «Все млекопитающие дышат легкими». В этом высказывании можно выделить квантор общности «все», общее имя «млекопитающие», предикат «дышать легкими». Высказывание можно записать в виде формулы " xF (x), в которой переменная x пробегает по млекопитающим, предикатный символ F соответствует свойству «дышать легкими». Универсумом здесь будет совокупность всех млекопитающих. Формула читается: «Для всех млекопитающих верно, что они дышат легкими».

Теперь расширим универсум до области, включающей в себя наряду с млекопитающими другие многообразные предметы, в этом случае переменная x будет пробегать по всем этим многообразным предметам, т.е. по различным нечто, или индивидам. Формула " xF (x) будет читаться так: «Для всякого некто верно, что оно дышит легкими». Очевидно, что это иная мысль, чем «Для всех млекопитающих верно, что они дышат легкими».

Чтобы речь шла все же именно о млекопитающих, мы должны ввести уточнение, что имеются в виду такие индивиды, которые являются млекопитающими. Обозначим «индивид, являющийся млекопитающим», формулой G (x), где предикатный символ G означает «быть млекопитающим». Введем эту формулу в общую формулу высказывания о млекопитающих, получаем: " x (G (x)® F (x)).

Читается: «Для всякого некто (индивида) верно, что если оно млекопитающее, то оно дышит легкими». Чтобы высказывание звучало менее неуклюже, можно конкретизировать индивидов, например, как живые существа вообще, − главное, чтобы универсум заведомо включал в себя всех млекопитающих, тогда формула будет читаться так: «Для всякого живого существа верно, что если оно млекопитающее, то оно дышит легкими», или еще более естественно: «Всякое живое существо, если оно млекопитающее, − дышит легкими».

Допустим, нам нужно при таком же широком универсуме записать формулу высказывания «Все люди смертны». Обозначаем свойство «быть смертным» предикатным символом H, общее имя «человек» введем через предикатный символ F ₁, записываем формулу: " x (F ₁(x)® H (x)).

Читается: «Для всякого индивида верно, что если он является человеком, то оно смертно», или менее неуклюже: «Всякое живое существо, если оно человек, − смертно».

Можно сформулировать правило, что при неопределенно широком универсуме высказываниям вида «Все S есть P» (в главе о суждениях мы их называли общеутвердительными суждениями) соответствует формула " x (S (x)® P (x)).

Очевидно, что высказываниям вида «Ни одно S не есть P» (общеотрицательные суждения) соответствует формула " x (S (x)®ù P (x)), или «Для всякого нечто верно, что если оно обладает свойством S, то не обладает свойством P».

Какие формулы будут соответствовать высказываниям «Некоторые S есть P» (частноутвердительное суждение) и «Некоторые S не есть P» (частноотрицательное суждение) при неопределенно широком универсуме?

Первое высказывание можно истолковать как утверждение, что существует нечто, обладающее как свойством S, так и свойством P, этому утверждению соответствует формула $ x (S (x)· P (x)).

Второе высказывание можно истолковать как утверждение, что существует нечто, обладающее свойством S, но не обладающее свойством P, этому утверждению соответствует формула $ x (S (x)·ù P (x)).

Изобразим в виде таблицы перевод общеутвердительного, общеотрицательного, частноутвердительного и частноотрицательного суждений в формулы логики предикатов:

1.	Все S есть P	" x (S (x)→ P (x))
2.	Ни одно S не есть P	" x (S (x)→ù P (x))
3.	Некоторые S есть P	$ x (S (x)· P (x))
4.	Некоторые S не есть P	$ x (S (x)·ù P (x))

Обратим внимание на то, что при кванторе общности формула высказывания строится на основе импликации, а при кванторе существования − на основе конъюнкции.

Теперь попрактикуемся в записи высказываний формулами логики предикатов при неопределенно широком универсуме.

Высказывание «Некоторые млекопитающие являются хищниками». Этому высказыванию будет соответствовать формула $ x (F (x)· G (x)), где символы F и G означают свойства «быть млекопитающим» и «быть хищником». Формула читается: «Существуют индивиды (живые существа), которые являются млекопитающими и хищниками».

Рассмотрим высказывание «Некоторые млекопитающие не являются хищниками». Этому высказыванию будет соответствовать формула $ x (F (x)·ù G (x)). Формула читается: «Существуют индивиды (живые существа), которые являются млекопитающими, но не являются хищниками».

Будем усложнять примеры. Рассмотрим высказывание «Каждый отец желает счастья своей дочери». Обозначим предикат «желать» символом F, этот предикат объединяет три предмета «отец», «счастье» и «дочь». Первое общее имя запишем в виде формулы G (x), означающей «некто, которому присуще свойство «быть отцом», второй предмет обозначим предметной константой a, так как речь идет о конкретном состоянии, третий предмет − сложным общим именем f (x), означающим «дочь некто». Высказывание утвердительное с квантором общности, следовательно, формула будет строиться в соответствии с первой строкой таблицы:

" x (G (x)® F (x, a, f (x))).

Читается: «Для всякого индивида (человека) верно, что если он отец, то он желает счастья своей дочери».

Несколько изменим высказывание: «Некоторые отцы не желают счастья своей дочери». Сохраним обозначения предиката «желать» и предметов «отец», «счастье», «дочь» в виде символов F, G (x), a, f (x). Высказывание отрицательное с квантором существования, следовательно, формула будет строиться в соответствии с четвертой строкой таблицы:

$ x (G (x)·ù F (x, a, f (x))).

Читается: «Существуют индивиды (люди), которые, являясь отцами, не желают счастья своей дочери».

Еще более усложним ситуацию: «Лишь некоторые отцы не желают счастья своей дочери». Нам необходимо передать смысл уточнения «лишь», соединим для этого конъюнкцией высказывания «Некоторые отцы не желают счастья своей дочери» и «Некоторые отцы желают счастья своей дочери». Получаем формулу:

$ x (G (x)·ù F (x, a, f (x))) · $ x (G (x)· F (x, a, f (x))).

Читается: «Существуют индивиды (люди), которые, являясь отцами, не желают счастья своей дочери, и существуют индивиды, которые, являясь отцами, желают счастья своей дочери».

Рассмотрим высказывание, которое мы приводили в главе о силлогизмах: «Никто, кроме Ричарда, не может ездить верхом на этой лошади». Смысл этого высказывания состоит в том, что Ричард может ездить на этой лошади, а любой человек, если он не тождественен Ричарду, не может ездить на этой лошади.

Вводим обозначения: конкретный человек Ричард − предметная константа a, эта лошадь − предметная константа b, свойство «мочь ездить» − предикатный символ F, свойство «быть тождественным» − предикатный символ G. Формула:

F (a, b)·" x (ù G (x, a)®ù F (x, b)).

Читается: «Ричард ездит на этой лошади, и для любого существа верно, что если оно не тождественно с Ричардом, то оно не сможет ездить на этой лошади».

Следующее высказывание: «Вода кипит при 100⁰ C и нормальном атмосферном давлении». Раньше мы его записывали «Кипеть(вода, 100⁰ C, 762 мм)». Здесь «вода», «100⁰ С», «762 мм» − собственные имена конкретного вещества, конкретной температуры и конкретного давления, это выражение можно записать в виде формулы F (a, b, c), где предикатный символ F означает свойство «кипеть». Перепишем высказывание в виде формулы с переменной, пробегающей по разнообразным «нечто». Теперь свойство «кипеть» принадлежит всякому нечто, которое обладает свойствами «быть водой», «нагрето до 100⁰ C» и «находиться под атмосферным давлением 762 мм. рт. столба». Обозначим эти свойства символами G, H, F ₁.

Получаем утвердительное высказывание с квантором общности, формула строится в соответствии с первой строкой таблицы:

" x (G (x)· H (x)· F ₁(x)→ F (x)).

Читается: «Для всякого индивида (вещества) верно, что если он является водой, нагрет до 100⁰ C и находится под атмосферным давлением 762 мм рт. столба, то он кипит».

Новое высказывание: «Вода, нагретая до 100⁰ С, или ртуть, нагретая до 357⁰ С, при нормальном атмосферном давлении кипят». Сохраним прежние обозначения и добавим новые: G ₁ − «быть ртутью», H ₁ − «нагрето до 357⁰ C». Формула:

" x ((G (x) · H (x)Ú G ₁(x)· H ₁(x))· F ₁(x)→ F (x)).

Читается: «Для всякого индивида (вещества) верно, что если он является водой, нагретой до 100⁰ C, или является ртутью, нагретой до 357⁰ С, кроме того находится под атмосферным давлением 762 мм рт. столба, то он − кипит».

Перейдем к формулам с двумя кванторами. Рассмотрим высказывание «Каждый человек неравнодушен хотя бы к какому-нибудь домашнему животному». Обозначим предикат «быть равнодушным» символом F. Отрицание этого предиката объединяет предметы «человек» и «домашнее животное». Первый предмет связан квантором общности, второй − существования. Для обозначения этих предметов необходимо использовать разные переменные: G (x) и H (y), чтобы не получилось, что свойства «быть человеком» и «быть домашним животным» могут принадлежать одному предмету. Ведущим квантором является квантор общности, высказывание утвердительное, поэтому в целом формула должна строиться в соответствии с первой строкой таблицы, в то же время часть формулы, подпадающая под квантор существования, должна соответствовать третьей строке таблицы:

" x (G (x) ® $ y (H (y)·ù F (x, y))).

Читается: «Для всякого существа верно, что если это существо человек, то существует другое существо, являющееся домашним животным, и неверно, что первое существо равнодушно по отношению ко второму существу».

Но обратим внимание, что общее имя «домашнее животное» является сложным, его можно представить в виде выражения «домашнее(животное)», а так как имя «животное» тоже является общим, то имя «домашнее животное» можно обозначить термом f (y), где f  − предметно-функциональная константа «домашнее(...)». Тогда имя «животное» необходимо ввести в общую формулу через формулу F ₁(y), где предикатный символ F ₁ будет означать «быть животным». Вся формула приобретет следующий вид:

" x (G (x) ® $ y (F ₁(y)·ù F (x, f (y)))).

Читается: «Для всякого существа верно, что если это существо человек, то существует другое существо, являющееся животным, и неверно, что первое существо равнодушно по отношению к домашнему второму существу».

Высказывание: «Некоторые замужние женщины озабочены чистотой на кухне». Введем обозначения. Основной предикат «озабочены» − F, предикаты, соответствующие общим именам: «быть замужем» − G, «быть женщиной» − H, «быть кухней» − F ₁, сложное общее имя «чистота на(...)» − f (...). Формула:

$ x (G (x)· H (x)·$ y (F ₁(y)· F (x, f (y)))).

Читается: «Существует некто, которая является женщиной и которая замужем, и существует нечто, являющееся кухней, и эта некто озабочена чистотой на нечто».

Высказывание: «Каждый заядлый альпинист предпочтет провести отпуск, карабкаясь по скалам, сидению перед телевизором с любимой кошкой на коленях».

Вводим обозначения: предикат «предпочтет» − F, «быть заядлым альпинистом» − G; сложное имя «провести отпуск(...)» − предметно-функциональная константа f (...), состояние «карабкаясь по скалам» − предметная константа a, сложное имя «сидеть перед телевизором с(...)» − предметно-функциональная константа g (...), состояние «иметь любимую кошку на коленях» предметная константа b. Высказывание утвердительное, с квантором общности, формула строится в соответствии с первой строкой таблицы:

" x (G (x)® F (x, f (a), f (g (b)))).

Читается: «Для всякого существа (млекопитающего, человека) верно, что если оно заядлый альпинист, то это существо предпочтет провести отпуск, карабкаясь по скалам, проведению отпуска, сидя перед телевизором с любимой кошкой на коленях».

Усложним ситуацию. Допустим, что речь идет не о любимой кошке на коленях, а о том, что на коленях что-то любимое вообще. Тогда конкретное состояние, выражаемое собственным именем «любимая кошка на коленях» должно быть заменено состоянием, которому соответствует общее имя «иметь на коленях любимое(...)», вводим соответствующую предметно-функциональную константу h (...), в скобках теперь должно стоять «нечто», которое в формуле должно быть связано квантором существования, так как ясно, что не любое любимое нечто можно держать на коленях. Получает следующая формула:

" x (G (x)®$(y) F (x, f (a), f (g (h (y))))).

Читается: «Для всякого существа (млекопитающего, человека) верно, что если оно заядлый альпинист, то существует такое нечто, что это существо предпочтет провести отпуск, карабкаясь по скалам, проведению отпуска, сидя перед телевизором с любимым нечто на коленях».

Другие примеры. Высказывание: «Часть видимых на небе звезд на самом деле давно по­гасла». Предикатом является свойство «быть давно погасшим», обозначим его символом F, свойство «быть звездой» обозначим символом G, свойство «быть видимым на небе» − символом H. Высказывание утвердительное с квантором существования, соответствует третьей строке таблицы. Формула:

$ x (G (x)· H (x)· F (x)).

Читается: «Существует нечто, которое является звездой, видимой на небе, и давно погасшим».

Высказывание: «Эверест − самая высокая в мире гора». Смысл высказывания состоит в том, что Эверест выше всех других гор. Предикаты «быть выше» и «быть горой» обозначим соответственно символами F и G. Конкретную гору Эверест обозначим предметной константой a. Нужно еще ввести условие, что речь идет именно о других горах,, т.е. не совпадающих с Эверестом, для этого вводим предикат «тождественно», обозначим его символом H. Высказывание утвердительное с квантором общности, соответствует первой строке таблицы.

" x (G (x)·ù H (x, a)® F (a, x)).

Читается: «Для всякого нечто верно, что если он гора и не тождественен с Эверестом, то Эверест выше этого нечто».

Задание 9. Запишите в виде формул логики предикатов с неопределенно широким универсумом высказывания:

a) Все акулы дышат жабрами.

b) Все акулы − безжалостные охотники.

c) Некоторые акулы нападают на людей.

d) Рыбаки с острова Суматра загарпунили большую белую акулу.