Второй замечательный предел

 

Рассмотрим числовую последовательность , где ,  С ростом  основание степени уменьшается до единицы, а показатель растет до бесконечности, поэтому ничего конкретного о поведении  сказать нельзя. Для вычисления  воспользуемся выражением для бинома Ньютона:

 

.    

 

В нашем случае

 

.

 

Из полученного выражения следует, что с увеличением  величина  растет. Действительно, перейдем от  к . Это приведет к тому, что число слагаемых возрастет на одно. Кроме того, величина множителей, заключенных в скобки, тоже возрастет, так как . Но если увеличивается число слагаемых и сами слагаемые растут, то . Значит, числовая последовательность  монотонно возрастает.

Докажем теперь, что данная последовательность ограничена сверху. Заменим все скобки вида  единицей. Так как , то

 

.

 

Кроме того , ,..., . Значит,

 

.

 

В правой части неравенства после цифры 2 стоит убывающая геометрическая прогрессия. Как известно, сумма  первых членов такой прогрессии равна: . В нашем случае . С ростом  величина  будет, очевидно, стремится к единице. Значит, , то есть, ограничено сверху.

Итак, мы получили, что . Но так как  монотонно возрастающая последовательность ограниченная сверху, то она имеет предел:

 

 

Можно доказать, что данный предел справедлив не только для натуральных чисел, но и для любых значений :

 

.

 

Полученное выражение и называется вторым замечательным пределом.

Число  используется для введения натуральных логарифмов. Такие логарифмы обозначаются , при этом .

Следствие 3.1.

 

.

 

В частности, если , то .

Следствие 3.2.

 

.

 

В частности, если , то .