Три действительных корня и два одинаковых

Пусть имеем один действительный корень (обозначим его X₁ = g₁) и два равных действительных корня. Тогда имеем h =0 и (2mn)_I = 0

При (2mn)_I = 0 на основании уравнения (1) будем иметь

3x² + 2bx +с = 0 (6)

→ X₂ = (g₂ - h), X₃ = (g₂ + h) → X₂ = X₃ = g₂

→ (2mn)₁ = (X₁ - X₂) = (g₁ - g₂)

(2mn)₂ = (X₁ - X₃) = (g₁ - g₂)

(2mn)₃ = (X₂ - X₃) = g₂ - g₂ = 0

→ D₁ = - (2mn)₁² ∙ (2mn)₂² ∙ (2mn)₃² = 0

→ D₂ = - [ (2mn)₁² + (2mn)₂² + (2mn)₃² ] = - [ (2mn)₁² + (2mn)₂² ]

→ D₂ = 2 (2mn)₁² = 2 (g₁ - g₂)² = - 2(3c – b²) = 2(b² – 3c)

→ (g₁ - g₂)² = (b² - 3c)

На основании свойств корней исходного уравнения можно записать - b = X₁ + 2X₂

→                g₁ + 2g₂ = - b

Решая систему из двух уравнений будем иметь g₂ = -

→         X_11,12 = g_11,12 = [ - b ±  ]

→ X_21,22 = g_21,22 = [ - b ±  ]

Расчет закончен!

Пример 7 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 41x2 + 475x – 1083 = 0

где a =1, b = - 41, c = 475, d = - 1083

1. X_11,12 = g_11,12 = [ - b ±  ] → X_11,12 = [ 41 ±  ] = [ 41 ±  ]

→ X₁₁ =  , X₁ = 3

X_21,22 = g_21,22 = [ - b ±  ] → g_21,22 = [ 41 ±  ]= [ 41 ±  ]

→ X₂₁ = 19, X₂₂ =  → X₂ = X₃ = 19

Расчет закончен!

Вывод основных формул

 

Задано исходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0. Необходимо найти значения корней.

1. Определяем значение D₁ = -

2. Разделим

3. Представляем число  в виде произведения двух квадратов   = [(g₁ - g₂)² - h² ]² ∙ h².

4. Меньший множитель принимаем за h² → [(g₁ - g₂)² - h² ]² =

→ (g₁ - g₂) =  (6)

Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения

Из исходного уравнения b = - (X₁ + X₂ + X₃) → b = - (g₁ + g₂ - h + g₂ +h)

→ b = - (g₁ + 2g₂) (7)

6. Решая систему из двух уравнений (26) и (27) в итоге получим

X₁ = g₁ =  - b)

→                 X₁₁ = g₁₁ =  - b)          (8)

→                 X₁₂ = g₁₂ =  - b)         (9)

Таким образом получили значение одного из корней исходного уравнения.

 

7. → g₂ = -

→ g₂₁ = -

→ g₂₂ = -

8. Определяем два остальных корня

X₂₁ = g₂₁ + h

X₂₂ = g₂₂ + h

X₃₁ = g₂₁ – h

X₃₂ = g₂₂ – h

Этими формулами определены по два варианта каждого из трех корней. Среди этих вариантов имеют место и корни исходного кубического уравнения.

Задача решена!

Пример 8 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 33x2 + 311x – 663 = 0

где a =1, b = - 30, c = 322, d = - 1168

 

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→D₁ = - [4(933 – 1089)3+(- 71874 + 92367 – 17901)2]/27 = - [- 15185664 +6718464 ]/27=313600

-→ D₁ = [(g₁ - g₂)² - h² ]² ∙ 4h² = 313600 = 4∙4²∙7²∙10² = 4∙40²∙7² = 4∙70²∙4² = 4∙28²∙10²

313600 = 4∙140²∙2² = 4∙7²∙40² = 4∙5²∙56²

-→  = 40²∙7² = 70²∙4² = 28²∙10² = 140²∙2² =5²∙56²

2. Пусть h₁² = 7²

→ X₁ = g₁₁ =  - b) =  - b) =

→ g₁₁ = X₁₁ = 13, X₁₂ = 9.

→ g₂₁ = -  = -  = 10

→ X_2,3 = g₂₁ + h₁ = 10 ± 7 → X₂ = 17, X₃ = 3

Задача решена!

 

Неприводимый случай формулы Кардана

 

Пусть имеем один действительный корень (обозначим его X₁ = g₁) и два мнимых сопряженных корня

X₂ = (g₂ - ih), X₃ = (g₂ + ih).

-→ (2mn)₁ = (X₁ - X₂) = (g₁ - g₂) +ih

(2mn)₂ = (X₁ - X₃) = (g₁ - g₂) – ih

(2mn)₃ = (X₂ - X₃) = g₂ - ih - g₂ – ih = - 2ih

Задано исходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0. Необходимо найти значения корней.

1. Определяем значение D₁ = -

2. Разделим

3. Представляем число  в виде произведения двух квадратов   = [(g₁ - g₂)² + h² ]² ∙ h².

4. Меньший множитель принимаем за h² → [(g₁ - g₂)² + h² ]² =

→ (g₁ - g₂) =