Неприводимый случай формулы Кардана

Автор: Фильчев Э.Г.

 

Решение кубического уравнения в системе mn параметров

Решение кубического уравнения на основе современных методов не представляется тривиальным. В любом справочнике по математике предлагаются следующие методы

- разложение левой части на линейные множители (если возможно)

- с помощью формулы Кардана

- применение специальных таблиц

(см. например, И.Н.Бронштейн. К.А.Семендяев. Справочник по математике …М. Наука 1980. стр.219).

В данной статье рассматривается метод решения любых кубических уравнений включая неприводимый случай формулы Кардана!

Задача "Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0.

Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения ". Пусть а = 1.

Решение

На сайте fgg-fil1.narod.ru/fmat16.doc приведена, полученная автором, формула mn преобразования степенной функции. Для кубического уравнения эта формула имеет вид

(2mn)² + (3x + b)(2mn) + 3x² + 2bx +с = 0 (1)

 

где

x - любой из нулей (корней) исходного уравнения

2mn - разность любой пары из трех нулей исходного уравнения

Решив уравнение (1) относительно х и подставив это значение в исходное уравнение, в результате, после простых, но громоздких преобразований, получим

 

(2mn)⁶ +2(3c – b²)(2mn)⁴+(3c – b²)²(2mn)² + [ 4(3c – b² )³ + (2b³ – 9bc + 27d)²]/27 = 0 (2)

Это уравнение устанавливает связь коэффициентов исходного уравнения с параметром (2mn) и является кубическим относительно (2mn)2. На основании формул Виета и уравнения (2) можно сделать следующее утверждение

 

Утверждение1 "Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 справедливы уравнения

3x2 + 2bx + c = - (2mn)1(2mn)2

2(3c-b2) = - [(2mn)12+(2mn)22+(2mn)32 ]

[4(3c-b2)3+(2b3 - 9bc+27d)2]/27 = - (2mn)12(2mn)22(2mn)32

где (2mn)_j - разность любой пары корней исходного уравнения.

x - один (любой) из корней исходного уравнения. "

1. Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 определяем значение

D₁ = -  = - (2mn)₁² ∙ (2mn)₂² ∙ (2mn)₃²

Определяем значение

D₂ = - 2(3c – b²) = - [(2mn)12 + (2mn)22 + (2mn)32]

Из этих уравнений следует, что

- если выражение - 2(3c -) - целое число, то оно разложимо на сумму трех квадратов

- и если при этом выполняется равенство D₁ = - (2mn)12(2mn)22(2mn)32  , то в результате получим решение для (2mn)1,(2mn)2,(2mn)3.

3. Определяем значение корней исходного уравнения

3x2 + 2bx + c = - (2mn)1(2mn)2

3x2 + 2bx + c = (2mn)1(2mn)2

3x2 + 2bx + c = - (2mn)1(2mn)3

3x2 + 2bx + c = (2mn)1(2mn)3

3x2 + 2bx + c = - (2mn)2(2mn)3

3x2 + 2bx + c = (2mn)2(2mn)3

Задача решена!

Пример 1 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 9x2+ 23x - 15 = 0

где a =1, b = - 9, c = 23, d = -15

Решение

1. Определяем значение D₁ = = -

 

-→ D₁ = - [4(69-81)3+(- 1458 + 1863 - 405)2]/27= - [4(69-81)3+0]/27= 256 = 162

Обратим внимание, что в этом примере (2b3-9bc+27d) = 0

2. Определяем значение D₂= - 2(3c -)

-→ D₂ = - 2(3∙23 - 81) = 24 = 4 + 16 + 4

Это единственное разложение числа 24 на три квадрата. Следовательно

имеем (2mn)₁ = 2, (2mn)₂ = 4, (2mn)₃ = 2.

3. Определяем значение нулей (корней) исходного уравнения

3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1(2mn)2

-→ 3x2 - 18x + 23 = - -> 3x2 - 18x + 31 = 0. Нет действительных решений.

3.2 3x2 + 2bx + c = (2mn)1(2mn)2

-→ 3x2 - 18x + 23 = -> 3x2 - 18x + 15 = 0 -→ x2 - 6x + 5 = 0

-→ X₁ = 3 + 2 = 5, X₂ = 3 - 2 = 1

Здесь X₁ = 5 - одно из решений исходного уравнения.

Здесь X₂ = 1 второе решение исходного уравнения.

3.3 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1(2mn)3

-→ 3x2 - 18x + 23 = - -> 3x2 - 18x + 27 = 0 -→ x2 - 6x + 9 = 0

-→ X₂ = 3

Здесь X = 3 - последнее из решений исходного уравнения.

3.4 3x2 + 2bx + c = (2mn)1(2mn)3

-→ 3x2 - 18x + 23 = 2∙2 -→ 3x2 - 18x + 19 = 0. Нет решений исходного уравнения.

Задача решена!

 

Пример 2 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 20x2+ 113x - 154 = 0

где a =1, b = - 20, c =113, d = -154

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→D₁ = - [4(339-400)3+(- 16000 + 20340 - 4158)2]/27= - [- 907924+33124]/27=32400

2. Определяем значение D₂ = - 2(3c -)

-→ D₂ = - 2(- 400) = 122 = 3² + 7² + 8² = 4² + 5² + 9²

Здесь имеет место два представления числа 122 в виде суммы трех квадратов.

Поэтому, проверяем на соответствие с числом D₁ = 32400.

2.1 3² ∙ 7² ∙ 8² = 28224 ≠ 32400

2.2 4² ∙ 5² ∙ 9² = 32400. Этот вариант подходит!

-→ (2mn)₁₁ = 4, (2mn)₁₂ = - 4,

(2mn)₂₁ = 5, (2mn)₂₂ = - 5,

(2mn)₃₁ = 9, (2mn)₃₂ = - 9.

3. Определяем значение нулей (корней) исходного уравнения

3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)1(2mn)2

-→ 3x2 - 40x + 113 = - 4∙5 -> 3x2 - 40x + 133 = 0.

-→ X₁ = 7, X₂ =

4. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X₁ = 7, и кроме того, известны значения (2mn)₁₁ ÷ (2mn)₃₂. Этих данных достаточно для определения двух остальных корней.

4.1 Пусть (2mn)₁₁ = 4 = (X₁ - X₂) -→ X₂ = X₁ – 4 = 7 – 4 = 3. Нет решения(это не корень).

4.2 Пусть (2mn)₁₂ = - 4 = (X₁ - X₂) -→ X₂ = X₁ + 4 = 7 + 4 = 11. Это второй корень.

4.3 Пусть (2mn)₂₁ = 5 = (X₂ - X₃) -→ X₃ = X₂ - 5 = 7 - 5 = 2. Это третий корень.

Решением исходного уравнения будет X₁ = 7, X₂ = 2, X₃ = 11.

Расчет закончен!

Пример 3 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

 

x3 - 10x2 - 49x + 130 = 0

где a =1, b = - 10, c = - 49, d = 130

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→D₁ = - [4(-147 - 100)3+(2000 + 4410 - 3510)2]/27= - [- 60276892+8410000]/27= 1920996

2. Определяем значение D₂ = - 2(3c -)

-→ D₂ = - 2(- 147 - 100) = 494 = 1² + 3² + 22² = 2² + 7² + 21² = 7² + 11² + 18²

Из этих трех вариантов представления числа 494 в виде суммы трех квадратов подходит последний вариант, т.к. 7² ∙ 11²  18² = 1920996

-→ (2mn)₁₁ = 7, (2mn)₁₂ = - 7,

(2mn)₂₁ = 11, (2mn)₂₂ = - 11,

(2mn)₃₁ = 18, (2mn)₃₂ = - 18.

3. Определяем значение нулей (корней) исходного уравнения

3.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)11(2mn)21

-→ 3x2 - 20x - 49 = 7∙11 -> 3x2 - 20x - 126 = 0. Эти значения X не подходят!

3.2 3x2 + 2bx + c = (2mn)11(2mn)22

-→ 3x2 - 20x - 49 =- 77 -→ 3x2 - 20x + 28 = 0.

-→ X₁ =  , X₂ = 2 – это один из корней исходного уравнения!

4. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X₁ = 2, и кроме того, известны значения (2mn)₁₁ ÷ (2mn)₃₂. Этих данных достаточно для определения двух остальных корней.

4.1 Пусть (2mn)₁₁ = 7 = (X₁ - X₂) -→ X₂ = X₁ – 7 = 2 – 7 = - 5. Это второй корень!

4.2 Пусть (2mn)₁₂ = - 7 = (X₁ - X₂) -→ X₂ = X₁ +7 = 2 + 7 = 9. Это не корень.

4.3 Пусть (2mn)₂₁ = 11 = (X₁ - X₃) -→ X₃ = X₁ - 11= 2 - 11 = - 9. Это не корень.

4.4 Пусть (2mn)₂₁ = -11 = (X₁ - X₃) -→ X₃ = X₁ + 11= 2 + 11 = 13. Это третий корень!

Решением исходного уравнения будет X₁ = 2, X₂ = - 5, X₃ = 13.

Расчет закончен!

 

Пример 4 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 6.85x2 + 13.425x – 8.1 = 0

где a =1, b = - 6.85, c = 13.425, d = - 8.1

В этом уравнении имеют место нецелые значения коэффициентов. Это указывает на то, что и корни также могут иметь нецелые значения.

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→D₁ = - [4(40.275 – 46.9225)3+(- 642.83825 + 827.65125 – 218.7)2]/27

-→D₁ = - [- 1174.9923236875+1148.328769]/27= 0.987539062500

2. Определяем значение D₂ = - 2(3c -)

-→ D₂ = - 2(40.275 – 46.9225) = 13.2950

В этом случае имеют место дробные значения для D₁ и D₂. Предлагаемый метод решения куб.уравнения оперирует только с целыми числами, поэтому необходимо умножить на 10^k.

При этом значение степени k должно определяться

- для D₂ числом знаков в мантиссе (для данного примера k₂ = 4)

- для D₁ = 3∙ (число знаков в мантиссе для D₂). -→ k₁ = 3∙ k₂ (для данного примера k₁ = 12).

Для дальнейшего рассмотрения используем два числа

- D₁₁ = 987539062500

- D₂₁ = 132950.

3. Далее задача заключается в том, чтобы определить три значения таких целых чисел (А,Б,Д), при которых выполняются равенства D₂₁ = А² + Б² + Д² и D₁₁ = А² ∙ Б² ∙ Д².

Для нахождения значений чисел А,Б,Д можно использовать две методики

- найти все варианты представления числа D₂₁ в виде суммы трех квадратов. При этом один из этих вариантов будет соответствовать условию D₂₁ = А² + Б² + Д² и D₁₁ = А² ∙ Б² ∙ Д².

- найти все варианты представления числа D₁₁ в виде произведения трех квадратов. При этом один из этих вариантов будет соответствовать условию D₂₁ = А² + Б² + Д² и D₁₁ = А² ∙ Б² ∙ Д².

Вариант D₁₁ = А² ∙ Б² ∙ Д² следует считать более удобным.

Для рассматриваемого примера

D₁₁ = 987539062500 = 250² ∙ 265² ∙ 15²

D₂₁ = 132950 = 250² + 265² + 15².

4. В расчетах п.2 была произведена операция перехода к целым числам путем умножения соответствующих чисел на множители k₁ и k₂. Совершая обратную операцию, получим

(2mn)₁₁ = 2.5, (2mn)₁₂ = - 2.5,

(2mn)₂₁ = 2.65, (2mn)₂₂ = - 2.65,

(2mn)₃₁ = 0.15, (2mn)₃₂ = - 0.15.

5. Определяем значение нулей (корней) исходного уравнения

5.1 3x2 + 2bx + c = - (2mn)11(2mn)21

-→ 3x2 - 2∙(6.85)∙ x + 13.425 = (2.5)∙(2.65) -> 3x2 – 13.7x + 6.8 = 0.

-→ X₁ = 4 – это один из корней исходного уравнения!

6. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X₁ = 4, и

кроме того, известны значения (2mn)₁₁ ÷ (2mn)₃₂. Этих данных достаточно для

определения двух остальных корней.

6.1 Пусть (2mn)₁₁ = 2.5 = (X₁ - X₂) -→ X₂ = X₁ – 2.5 = 4 – 2.5 = 1.5. Это второй корень!

6.2 Пусть (2mn)₁₂ = - 2.5 = (X₁ - X₂) -→ X₂ = X₁ +2.5 = 4 + 2.5 = 6.5. Это не корень.

6.3 Пусть (2mn)₂₁ = 2.65 = (X₁ - X₃) -→ X₃ = X₁ – 2.65= 4 – 2.65 = 1.35. Это третий корень!

Решением исходного уравнения будет X₁ = 4, X₂ = 1.5, X₃ = 1.35.

Расчет закончен!

 

Неприводимый случай формулы Кардана

Если для кубического уравнения имеет место случай одного действительного и двух мнимых сопряженных корней, то такой вариант называют неприводимым случаем формулы Кардана.

Рассмотрим неприводимый случай формулы Кардана с позиций системы mn параметров.

Задача "Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0. Известно, что нули этого уравнения имеют один действительный и два мнимых сопряженных корня. Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения ".

Пусть а = 1.

Решение

Ранее было показано, что для любого кубического уравнения имеют место формулы

D₁= - (2mn)12(2mn)22(2mn)32

D₂= - [(2mn)12 + (2mn)22 + (2mn)32 ],

где

- (2mn)j  - разность любой пары корней исходного уравнения

- D₁ = -

- D₂ = - 2(3c – b²)

- (b,c,d) – коэффициенты исходного уравнения.

По условиям задачи имеем один действительный корень (обозначим его X₁ = g₁) и два сопряженных мнимых корня X₂ = (g₂ - hi), X₃ = (g₂ + hi). Тогда

(2mn)₁ = (X₁ - X₂) = (g₁ - g₂) + hi

(2mn)₂ = (X₁ - X₃) = (g₁ - g₂) – hi

(2mn)₃ = (X₂ - X₃) = g₂ - hi - g₂ – hi = - 2hi

-→ D₁= - (2mn)₁² ∙ (2mn)₂² ∙ (2mn)₃² = - [(g₁ - g₂) + hi]² ∙ [(g₁ - g₂) - hi]² ∙ [2 hi]²

 

-→ D₁ = [(g₁ - g₂)² + h² ]² ∙ 4h²

Обратим внимание на то, что в этой формуле в квадратных скобках имеют место

- знак “ + “

- только действительные числа.

Таким образом, метод решения поставленной задачи заключается в следующем

1. На основании значений коэффициентов исходного уравнения по формулам

D₁ = -

D₂ = - 2(3c - b²)

определяются значения D₁ и D₂.

2. Определяются D₁ - как произведение двух квадратов

D₂ - как удвоенная сумма двух квадратов.

3. Определяются значения g₁, g₂,h.

4. Определяются значения (2mn)₁₁, (2mn)₂₁, (2mn)₃₁

5. Определяются значения корней исходного уравнения.

 

Пример 5 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

 

x3 - 9x2 + 73x – 265 = 0

где a =1, b = - 9, c = 73, d = - 265

В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→D₁ = - [4(219 – 81)3+(- 1458 + 5913 – 7155)2]/27 = - [ 10512288 + 7290000]/27= - 659344

2. Для дальнейших расчетов общий знак “ - “ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D₁ как положительную величину.

-→D₁ = [(g₁ - g₂)² + h² ]² ∙ 4h² = 659344 = 2∙2∙2∙2∙7∙7∙29∙29 = 4∙2∙2∙7∙7∙29∙29= 4∙7² ∙ 58²

Здесь число 659344 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [(g₁ - g₂)² + h² ]² ∙ 4h². Тогда можно записать

h = 7, (g₁ - g₂)² + h² = 58 -→ (g₁ - g₂)² = 58 – 49 = 9 -→(g₁ - g₂) = ± 3

3. Для определения g₁ и g₂ воспользуемся свойством корней исходного уравнения

- b = X₁+X₂+X₃ -→ - (- 9) = g₁ + g₂ + hi + g₂ – hi = g₁ + 2 g₂ -→ 9 = g₁ + 2g_2.

4. Теперь, имея два уравнения (g₁ - g₂)= ± 3 и (g₁ + 2 g₂) = 9, можно определить значения g₁ и g₂

Пусть (g₁ - g₂)= 3 -→ g₂ = g₁ – 3 -→ g₁ + 2(g₁ – 3) = 9 -→ 3g₁ = 15 -→ g₁ = 5 -→ g₂ = 2.

-→ X₁ = 5, X₂ = 2 + 7i, X₃ = 2 – 7i

Расчет закончен!

Пример 6 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 - 30x2 + 322x – 1168 = 0

где a =1, b = - 30, c = 322, d = - 1168

В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→D₁ = - [4(966 – 900)3+(- 54000 + 86940 – 31536)2]/27 = - [ 1149984 + 1971216]/27= - 115600

2. Для дальнейших расчетов общий знак “ - “ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D₁ как положительную величину.

-→D₁ = [(g₁ - g₂)² + h² ]² ∙ 4h² = 115600 = 2∙2∙2∙2∙5∙5∙17∙17 = 4∙2∙2∙5∙5∙17∙17= 4∙ 5² ∙34²

Здесь число 115600 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [(g₁ - g₂)² + h² ]² ∙ 4h². Тогда можно записать

h = 5, (g₁ - g₂)² + h² = 34 -→ (g₁ - g₂)² = 34 – 25 = 9 -→(g₁ - g₂) = ± 3

3. Для определения g₁ и g₂ воспользуемся свойством корней исходного уравнения

- b = X₁+X₂+X₃ -→ - (- 30) = g₁ + g₂ + hi + g₂ – hi = g₁ + 2 g₂ -→ 30 = g₁ + 2g_2.

4. Теперь, имея два уравнения (g₁ - g₂)= ± 3 и (g₁ + 2 g₂) = 30, можно определить значения g₁ и g₂

Пусть (g₁ - g₂)= - 3 -→ g₂ = g₁ – 3 -→ g₁ + 2(g₁ – 3) = 30 -→ 3g₁ = 24 -→ g₁ = 8 -→ g₂ = 11.

-→ X₁ = 8, X₂ = 11 + 5i, X₃ = 2 – 5i

Расчет закончен!