Найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (5; 9)

Из 20 экзаменационных билетов 3 содержат простые вопросы. Пять студентов по очереди берут билеты. Найти вероятность того, что хотя бы одному из них достанется билет с простыми вопросами.

Решение:

Для начала найдем вероятность того, что ни одному из студентов не достанется билет с простыми вопросами.

Эта вероятность равна

Первая дробь показывает вероятность того, что первому студенту достался билет со сложными вопросами (их 17 из 20)

Вторая дробь показывает вероятность того, что второму студенту достался билет со сложными вопросами (их осталось 16 из 19)

Третья дробь показывает вероятность того, что третьему студенту достался билет со сложными вопросами (их осталось 15 из 18)

И так далее до пятого студента. Вероятности перемножаются т.к. по условию требуется одновременное выполнение этих условий.

Чтобы получить вероятность того, что хотя бы одному из студентов достанется билет с простыми вопросами надо вычесть полученную выше вероятность из единицы.

Ответ: 0,6009.

2. (248) Задана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины Х. Требуется:

Найти плотность распределения вероятностей f(x)

Определить коэффициент А

Схематично построить графики F(x) и f(x)

Найти математическое ожидание и дисперсию Х

Найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (a, b)

Решение:

1. Используем свойство . Получаем:

2. Используем свойство

3. Ниже показаны графики функции распределения и плотности распределения.

f(x)

F(x)

4. Математическое ожидание:

Дисперсия:

5. Вероятность того, что Х примет значение из интервала (0, 3)

3. (258) Заданы математическое ожидание а = 4 и среднеквадратическое отклонение s = 6 нормально распределенной случайной величины. Требуется

Написать плотность распределения вероятностей и схематично построить ее график

найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (5; 9)

Решение:

Для решения необходимо знать, что нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, если дифференциальная функция имеет вид:

где а – мат. ожидание; - среднее квадратичное отклонение

Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу равна:

где - функция Лапласа.

Для заданных условий:

График функции плотности распределения:

Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу равна:

Значения функции Лапласа находятся по таблице.

Непосредственное интегрирование в системе Maple дает более точный результат:

4. (268) Производится некоторый опыт, в котором случайное событие А может появиться с вероятностью р = 0,6. Опыт повторяют в неизменных условиях п раз. Сколько раз надо провести этот опыт, чтобы с вероятностью большей, чем 0,9 можно было ожидать отклонения относительной частоты появления события А от вероятности р = 0,6 не более, чем 0,05?

Решение:

Поскольку условия опыта неизменны, то применяется схема независимых испытаний Бернулли.

Используется формула: