В) Найти радиус сходимости степенного ряда и определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости

Задача 4

 

С помощью метода наименьших квадратов подобрать параметры a и b линейной функции y = a + bx, приближенно описывающей опытные данные из соответствующей таблицы. Изобразить в системе координат заданные точки и полученную прямую.

 

x i	0,0	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
y i	0,9	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5

 

Решение

Система нормальных уравнений

 

 

в задаче

 

n = 6

 

Тогда

решая ее получаем .

 

y = 0,5714x + 0,9476

 

 

Задача 5

 

Найти неопределенный интеграл

 

Решение

 

Ответ:

 

Задача 6

 

Найти неопределенный интеграл

 

Решение

 

 

Ответ:

 

Задача 7

 

Найти неопределенный интеграл, применяя метод интегрирования по частям

 

Решение

 

Ответ:

 

Задача 8

 

Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами

 

Решение

 

Точки пересечения по х: х = -1, х = 5.

Площадь фигуры найдем из выражения

 

 

Ответ:

 

Задача 9

 

Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка

 

Решение

Разделим переменные

 

 

Проинтегрируем

 

Ответ:

 

Задача 10

 

Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее начальному условию

         

 

Решение:

 

 

Запишем функцию y в виде произведения y = u * v. Тогда находим производную:

 

 

Подставим эти выражения в уравнение

 

Выберем v таким, чтобы

 

 

Проинтегрируем выражение

 

,

 

Найдем u

 

 ,

 ,

,

,

Тогда

Тогда

 

Ответ:

 

Задача 11

 

Исследовать на сходимость ряд:

А) с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд

 

Решение

Проверим необходимый признак сходимости ряда

 

n®¥

n®¥

 

n®¥

Т. к. , то необходимый признак сходимости ряда не соблюдается, и ряд расходится.

Используем признак Даламбера

 

 

Ответ: ряд расходится

Б) с помощью признака Лейбница знакочередующийся ряд

 

Решение

Проверим необходимый признак сходимости ряда

 

n®¥

n®¥

 

n®¥

Т. к. , то необходимый признак сходимости ряда соблюдается, можно исследовать ряд на сходимость.

По признаку подобия

 

 

данный ряд аналогичен гармоническому ряду начиная с пятого члена, таким образом, т.к. гармонический ряд расходится, то и исходный ряд расходится.

 

Ответ: ряд расходится

 

в) Найти радиус сходимости степенного ряда и определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости

Решение

Используем признак Даламбера:

 

                      

При х =5 получим ряд

 

 

Ряд знакопостоянный, lim Un = n

 

Ряд расходится, так как состоит из суммы возрастающих элементов, каждый из которых больше 1.

При х = -5 получим ряд

 

 

Ряд знакочередующийся, lim Un = n

|U_n| > |U_n+1| > |U_n+2| … - не выполняется.

По теореме Лейбница данный ряд расходится

 

Ответ: Х Î (-5; 5)

Задача 12