Теорема Ляпунова. Спектр системы

 

Выясним, является ли фундаментальная система решений линейной стационарной системы (1) нормальной фундаментальной системой. Для этого воспользуемся следующей теоремой и определением4.

Теорема Ляпунова (о нормальности фундаментальной системы) [1,c.142]. Фундаментальная система линейной системы является нормальной тогда и только тогда, когда она обладает свойством несжимаемости.

Определение4 [1,c.142]. Система ненулевых векторов функций обладает свойством несжимаемости, если характеристический показатель любой существенной их комбинации

 

 

где − постоянны, совпадает с наибольшим из характеристических показателей комбинируемых решений, то есть имеем

 

 

Возьмем произвольную линейную комбинацию векторов

 

x  и x .

Y= где −постоянны и  (5).

 

Произведем арифметические действия над векторами x  и x . Тогда равенство (5) примет вид

 

 (6).

 

Вычислим характеристический показатель линейной комбинации векторов (6).

 

 

Тогда по формуле (3) имеем

 

Итак, характеристический показатель линейной комбинации векторов совпадает с наибольшим из характеристических показателей комбинируемых решений x  и x , значит, система векторов x  и x  обладает свойством несжимаемости (по определению4) Следовательно, фундаментальная система решений линейной стационарной системы (1) является нормальной фундаментальной системой (по теореме Ляпунова).

Найдем спектр системы (1).

Воспользуемся определением и следствием из теоремы Ляпунова.

Определение5 [1,c.137]. Спектром называется множество всех собственных характеристических показателей (то есть отличных от −∞ и +∞) решений дифференциальной системы.

Следствие [1,c.145]. Всякая нормальная фундаментальная система реализует весь спектр линейной системы.

Согласно определения5 и следствия из теоремы Ляпунова спектр стационарной системы (1) равен

Заключение

 

Таким образом, в процессе исследования линейной стационарной системы мы выяснили, что ее фундаментальная система решений является нормальной фундаментальной системой; нормальная фундаментальная система решений реализует весь спектр дифференциальной системы; спектр рассмотренной линейной стационарной системы равен .

Список использованной литературы

 

1. Б.П. Демидович "Лекции по математической теории устойчивости"-М.: Наука, 1967г., 465 c.

2. Н.М. Матвеев "Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений"-М.: Высшая школа, 1967г., 564 с.