Кластеры в непрерывной колебательной среде

Образование кластеров в непрерывной колебательной среде  является результатом двух противоположных факторов: неоднородности распределения собственных частот и связи, которая старается уравнять состоя­ния систем. Такая связь часто возникает вследствие диффузии, и поэтому называется диффузионной. Рассмотрим, что происходит на границе двух кластеров, имеющих разные частоты. Здесь важно различать случал дискретной цепочки и непрерывной среды.

В дискретной цепочке граница между двумя кластерами есть граница между двумя осцилляторами, имеющими разные частоты. Это просто означает, что они не захвачены: каждый колеблется со своей частотой. В отличие от этого, если в сплошной среде два ос­циллятора в двух пространственных точках имеют разные часто­ты, то между ними должен быть непрерывный переход. На пер­вый взгляд, можно просто провести непрерывный профиль частот, соединяющий эти точки. Более детальное рассмотрение показыва­ет, что это невозможно. Действительно, разные частоты отвечают разным скоростям вращения фазы. Поэтому разность фаз между точками, принадлежащими к двум кластерам, растет во времени со скоростью, пропорциональной разности частот. Следовательно, профиль фазы становится все более наклонным. С другой стороны, непрерывный крутой профиль фазы означает, что в среде образу­ются волновые структуры с все меньшей и меньшей длиной волны. Рост разности фаз между кластерами приводит к укорочению дли­ны волны со временем. Ясно, что этот процесс долго продолжаться не может — и действительно, среда находит выход из этой ситуации. Увеличивающийся градиент фазы уменьша­ется за счет пространственно-временного дефекта. Дефект обра­зуется, когда амплитуда колебаний обращается в ноль, он позволяет сохранить градиент фазы конечным.

Чтобы продемонстрировать, как возникает пространственно-временной дефект, предположим, что разность фаз между точка­ми 1 и 2, принадлежащими разным кластерам, достигла значения ≈2π. Если бы между 1 и 2 не было среды, то мы бы просто счи­тали состояния в этих точках почти идентичными. В среде, одна­ко, существует непрерывный профиль фазы между этими точками. Представляя как амплитуду, так и фазу в полярных координатах, мы можем изобразить поле окружностью. (рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация пространственно-временного дефекта. Начальный профиль фазы и амплитуды между точками 1 и 2 показан жирной сплошной линией. С течением времени амплитуда уменьшается и профиль меняется, как показано стрелками. В конечном состоянии (пунктирная линия) раз­ность фаз между точками 1 и 2 близка к нулю.

Рассмотрим теперь влияние связи в среде на профиль амплитуды и фазы. Ти­пичная связь — диффузионная, или, по крайней мере, имеет диф­фузионную компоненту; она стремится уменьшить разность между состояниями ближайших соседей, т.е. уменьшить разность между состояниями в точках 1 и 2. Единственная возможность добиться этого — это уменьшить амплитуду колебаний. Из рисунка 6 видно, что такое уменьшение амплитуды действительно превраща­ет профиль фазы между 1 и 2 из окружности в почти точку. В ко­нечном состоянии фазы в точках 1 и 2 почти равны, хотя изна­чально они различались на 2π [1]. После амплитуда снова нарастает, и процесс повторяется, т. е. наблюдаются биения.