Вибір методу розв'язання задачі Коші

Порівнюючи ефективність однокрокових і багатокрокових методів, виділяють такі особливості:

1. Багатокрокові методи вимагають більшого об'єму пам'яті ЕОМ, тому що оперують більшою кількістю початкових даних.

2. При використанні багатокрокових методів існує можливість оцінки похибки на кроці, тому значення кроку обирається оптимальним, а
в однокрокових — з деяким запасом, що знижує швидкодію.

3.  При однаковій точності багато крокові методи вимагають меншого обсягу обчислень. Наприклад, в методі Рунге-Кутта четвертого порядку точності доводиться обчислювати чотири значення функції на кожному кроці, а для забезпечення збіжності методу прогнозу і корекції того ж порядку точності - достатньо двох.

4. Однокрокові методи на відміну від багатокрокових дозволяють одразу почати розв'язання задачі ("самостартування") і легко змінювати крок в процесі обчислень.

Перед початком розв'язання задачі необхідно провести перевірку на "жорсткість" і у випадку позитивного результату використати спеціальні методи. Якщо задача Коші дуже складна, то зазвичай перевага надається методу прогнозу і корекції, який має до того ж більш високу швидкодію. Початок розв'язання задачі при цьому проводиться за допомогою однокрокових методів. Якщо для обчислення чергового значення уі вимагається більш ніж дві ітерації або якщо помилка зрізання дуже велика, то необхідно зменшити крок Н. З іншого боку при дуже малій похибці зрізання можна збільшити крок, тим самим підвищити швидкодію, але при цьому весь процес розв'язання треба починати спочатку. Інколи на практиці вимагається мінімізувати час підготовки задачі до розв'язання. Тоді доцільно використовувати методи Рунге-Кутта.

На закінчення слід відзначити, що велике значення для ефективного розв'язання задачі мають досвід, інтуїція і кваліфікація користувача як при постановці задачі, так і в процесі вибру методу розробки алгоритму і програми для ЕОМ. При цьому часто зручно користуватись вже готовими програмними засобами, які є в наявності (наприклад, в пакетах МАРLЕ, МАТНЕМАТIКА).

2.3Методи розв'язання крайових задач

Методи розв'язання крайових задач розглядаються на прикладі звичайного диференціального рівняння другого порядку

при граничних умовах у(а) = А, у(в) - В. Методи розв'язання крайових задач розділяють на дві групи: методи, що побудовані на заміні розв'язання крайової задачі розв'язанням декількох задач Коші (методи "стрілянини") та різницеві методи.

2.4 Метод "стрілянини"

Якщо звичайне диференціальне рівняння другого порядку - лінійне, то воно має вигляд:

при у(а) = А, у(в) = В.

Крайову задачу можна звести до задачі Коші введенням додаткової початкової умови, крім у(а)=А вводиться у'(а)= .

Знайшовши розв'язок (х), можна поставити іншу початкову умову у(а)=  і отримати інший розв'язок у2 (х). Якщо  а , причому  , то розв'язок:

буде задовольняти обидві початкові умови.

При розв'язуванні нелінійного звичайного диференціального
рівняння методами "стрілянини" крайова задача зводиться до
розв'язування декількох задач Коші, послідовно вводячи в початкові і
умови значення  :

у(а)=А і у'(а)=а

і намагаючись знайти розв'язок, який задовольняє умову у(в)=В,

При цьому алгоритм досягнення мети будується на основі одного з методів оптимізації. Однак цей шлях розв'язання задачі пов'язаний з великими обчислювальними труднощами, і тому у випадку нелінійних |диференціальних рівнянь перевага надається різницевим методам.