2020-01-14
175
Основными характеристиками каждого вида ценных бумаг являются его доходность и риск.
Норма прибыли ценной бумаги определяется как отношение прибыли, которую приносит данная бумага, к расходам, связанным с ее приобретением:
(2.1)
где Rt - норма прибыли ценной бумаги за период t;
Ct, Ct-1 – цена ценной бумаги в конце периода t и (t-1) соответственно;
Dt – дивиденды уплаченные владельцу ценной бумаги в течении периода t.
Таблица 2.1 Динамика цен акций отечественных предприятий
|
Эмитент | Еженедельные средневзвешенные цены на акции | ||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
| Автокраз | 0,16 | 0,15 | 0,15 | 0,15 | 0,14 | 0,14 | 0,14 | 0,14 | 0,15 |
| Азовсталь | 2,72 | 2,71 | 2,69 | 2,66 | 2,71 | 2,77 | 2,79 | 3,38 | 3,28 |
| Енакиевский металургический завод | 169 | 171,18 | 172,2 | 168 | 168,68 | 174,4 | 186,25 | 210 | 200 |
| Западэнерго | 384,5 | 351,15 | 370 | 329,2 | 370 | 342 | 353 | 325 | 321 |
| Интертайп НТЗ | 2,6 | 2,15 | 2,21 | 2,15 | 2,15 | 2,1 | 2,1 | 2,5 | 2,5 |
| Лугансктепловоз | 2,74 | 3,11 | 3,13 | 2,83 | 2,83 | 2,8 | 2,85 | 3,08 | 2,98 |
| Укртелеком | 0,45 | 0,48 | 0,48 | 0,45 | 0,44 | 0,45 | 0,47 | 0,47 | 0,44 |
Таблица 2.2 Динамика нормы прибыли акций отечественных предприятий
|
Эмитент | Еженедельные нормы прибыли | |||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
| Автокраз | -6,250 | 0,000 | 0,000 | -6,667 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 7,143 |
| Азовсталь | -0,368 | -0,738 | -1,115 | 1,880 | 2,214 | 0,722 | 21,147 | -2,959 |
| Енакиевский металургический завод | 1,290 | 0,596 | -2,439 | 0,405 | 3,391 | 6,795 | 12,752 | -4,762 |
| Западэнерго | -8,674 | 5,368 | -11,027 | 12,394 | -7,568 | 3,216 | -7,932 | -1,231 |
| Интертайп НТЗ | -17,308 | 2,791 | -2,715 | 0,000 | -2,326 | 0,000 | 19,048 | 0,000 |
| Лугансктепловоз | 13,504 | 0,643 | -9,585 | 0,000 | -1,060 | 1,786 | 8,070 | -3,247 |
| Укртелеком | 6,667 | 0,000 | -6,250 | -2,222 | 2,273 | 4,444 | 0,000 | -6,383 |
Норма прибыли является случайной величиной и предсказать ее значение заранее невозможно. Основными числовыми характеристиками случайной величины являются ее математической ожидание и дисперсия.
В случае, если известны (например, определены экспертами):
· Множество состояний экономической среды (
);
· Вероятности каждого состояния (
);
· Значение нормы прибыли і-го вида ценной бумаги в зависимости от состояний, которые может принимать экономическая среда (
), то математическое ожидание, можно рассчитать по формуле:
,(2.2)
где mi – математическое ожидание нормы прибыли і-го вида ценных бумаг.
Дисперсия (
) представляет собой математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины от ее математического ожидания:
.(2.3)
Дисперсия является показателем рассеивания фактических значений доходности акции вокруг ее средней доходности. Чем большим является разброс, тем труднее делать любые прогнозы относительно нормы прибыли ценной бумаги, то есть риск инвестирования в такие ценные бумаги больше, а как следствие дисперсия служит показателем, характеризующим степень этого риска.
Размерность дисперсии представляет собой квадрат доходности акции. Если в формуле доходность учитывается в процентах, то размерность дисперсии - это процент в квадрате. Показателем такой размерности не всегда удобно пользоваться, поскольку сама доходность акции измеряется в процентах. Поэтому из дисперсии извлекают квадратный корень и получают стандартное отклонение доходности:
.(2.4)
Стандартное отклонение измеряется уже в процентах, т.е. в тех же единицах, что и сама доходность.
Очень часто не хватает необходимой информации для расчета математического ожидания и дисперсии нормы прибыли. Тогда при наличии статистических данных относительно курсов ценной бумаги и выплаченных ее владельцам доходов в прошлые периоды можно рассчитать нормы прибыли данного вида ценных бумаг за прошлые периоды и на их основе рассчитать оценки математического ожидания и дисперсии нормы прибыли.
,(2.5)
где Rit – норма прибыли ценной бумаги і-го вида, которая наблюдалась в период t;
T – количество статистических наблюдений.
Статистическую оценку дисперсии нормы прибыли рассчитывают по формуле:
.(2.6)
Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то она будет приводить к систематическим ошибкам, занижая значение генеральной дисперсии. Это происходит потому, что при расчете отклонения ее считают не от истинного среднего значения переменной, а от выборочного. Выборочное же среднее непосредственно находится в центре выборки и поэтому отклонения от него выборочных данных в среднем меньше, чем от действительного среднего значения переменной в генеральной совокупности. Чтобы скорректировать данную погрешность переходят к так называемой исправленной дисперсии. Она определяется по формуле:
(2.7)
Данная корректировка осуществляется для того, чтобы получить несмещенную оценку генеральной дисперсии. Корректировка является существенной, если оценку дисперсии проводят на основе небольшого количества данных. При большом объеме выборки различие в расчетах будет незначительным. На практике пользуются исправленной дисперсией, если количество наблюдений примерно меньше 30.
Дисперсию как меру риска ввел в теорию портфеля ценных бумаг основоположник современной теории портфеля Г.Марковец. Определенным недостатком данной меры риска является то, что она одинаково учитывает отклонения в доходности актива от его средней доходности как в сторону увеличения, так и снижения. В то же время инвестора, купившего финансовый актив, беспокоит именно снижение его доходности. Рост доходности по сути не является для него риском. Поэтому позже Г.Марковец предложил в качестве меры риска показатель полудисперсии. Выборочная полудисперсия определяется по формуле:
(2.8)
Формула (2.8) отличается от формулы (2.6) только тем что при расчете показателя полудисперсии учитываются только значения доходности актива, которые меньше его ожидаемой доходности. Таким образом, инвесторы получают представление о риске потерь в более прямой форме, чем при расчете дисперсии.
Функции Microsoft Excel ДИСП и СТАНДОТКЛОН позволяют рассчитать дисперсию и среднеквадратичное отклонение нормы прибыли на основе статистической выборки.
В таблице 2.3 отображены результаты расчетов оценок математического ожидания, дисперсии и среднеквадратичного отклонения норм прибылей акций отечественных предприятий.
Таблица 2.3 – Доходность и риск ценных бумаг отечественных предприятий
| Эмитент | Математическое ожидание | Дисперсия | Среднеквадратическое | |
| Автокраз | -0,72173 | 18,62289 | 4,315425 | |
| Азовсталь | 2,597903 | 58,9763 | 7,679603 | |
| Енакиевский металургический завод | 2,253385 | 30,06545 | 5,483197 | |
| Западэнерго | -1,93161 | 68,77746 | 8,293218 | |
| Интертайп НТЗ | -0,06374 | 97,55753 | 9,877121 | |
| Лугансктепловоз | 1,263892 | 48,83288 | 6,988053 | |
| Укртелеком | -0,18392 | 21,97649 | 4,687908 |
Таблица 2.3 демонстрирует, что при сохранении текущей динамики цен, смысл инвестировать есть только в акции «Азовстали», «Енакиевского металургического завода» и «Лугансктепловоза». Инвестиции в акции других предприятий нецелесообразны, так как математическое отклонение отрицательное и существует вероятность получения убытков. При этом наиболее привлекательными для инвестора будут акции «Енакиевского металургического завода», так имеют более оптимальное соотношение «доход/риск».
Риск ценной бумаги измеряется такими показателями как дисперсия или стандартное отклонение. Поэтому ожидаемый риск портфеля представляет собой сочетание стандартных отклонений (дисперсий) входящих в него бумаг. Однако в отличие от ожидаемой доходности портфеля его риск не является обязательно средневзвешенной величиной стандартных отклонений (дисперсий) доходностей бумаг. Дело в том, что разные активы могут не одинаково реагировать на изменение конъюнктуры рынка. В результате стандартные отклонения (дисперсии) доходности различных бумаг в ряде случаев будут погашать друг друга, что приведет к снижению риска портфеля. Риск портфеля зависит от того, в каком направлении изменяются доходности входящих в него активов при изменении конъюнктуры рынка и в какой степени. Поэтому при формировании портфеля ценных бумаг инвестору необходимо знать, каким образом будет изменяться доходность одного актива при изменении доходности другого актива.
При построении экономико-математической модели портфеля ценных бумаг важное значение имеет наличие статистической связи между нормами прибыли отдельных видов ценных бумаг. При формировании портфеля степень взаимосвязи между доходностями двух ценных бумаг можно определить с помощью таких показателей как ковариация и коэффициент корреляции. Ковариация говорит о степени зависимости двух случайных величин. Она может принимать положительные, отрицательные значения и равняться нулю. Если ковариация положительна, это говорит о том, что при изменении значения одной переменной другая имеет тенденцию изменяться в том же направлении. Так, при положительной ковариации доходностей двух бумаг с ростом доходности первой бумаги доходность второй также будет расти. При падении доходности первой бумаги доходность второй также будет снижаться. При отрицательной ковариации переменные имеют тенденцию изменяться в противоположных направлениях. В таком случае рост доходности первой бумаги будет сопровождаться падением доходности второй бумаги, и наоборот. Чем больше значение ковариации, тем сильнее зависимость между переменными. Если ковариация равна нулю, никакой зависимости между переменными не наблюдается.
Ковариация между нормами прибыли двух видов акций (у12) рассчитывается по формуле:
. (2.9)
Статистическую оценку ковариации рассчитывают по формуле:
. (2.10)
При расчете ковариации используется только выборка из генеральных совокупностей доходностей ценных бумаг, поскольку невозможно учесть все их значения. Поэтому по формуле (2.10) получают ковариацию, которая называется выборочной. В этом случае оценка ковариации будет иметь отрицательное смещение, так как отклонения считаются не от истинного среднего значения переменных, а от выборочных средних. Выборочные средние непосредственно находятся в центре выборки и поэтому отклонения от них в среднем меньше, чем от действительных средних значений переменных. Оценка ковариации будет несмещенной, если в формуле (2.10) в знаменателе величину п заменить на (n-1):
.(2.11)
Для определения ковариации норм прибыли разных видов ценных бумаг воспользуемся функцией КОВАРИАЦИЯ пункта меню «Анализ данных» пакета прикладных программ Microsoft Excel. В таблице 2.4 отображена ковариация между нормами прибыли акций отечественных предприятий.
Ковариация имеет некоторые недостатки, которые приводят к неудобству ее использования для получения объективной картины тесноты связи между переменными. Так ковариация имеет размерность равную произведению размерности двух случайных величин.
Далее, как следует из формул (2.10) и (2.11), ковариация характеризует не только зависимость переменных, но и их рассеяние вокруг средних значений. В результате, если одна из переменных мало отклоняется от своего среднего значения, то величина ковариации будет небольшой, какой бы тесной не была зависимость переменных. Поэтому ковариация не позволяет получить наглядную картину степени взаимосвязи между переменными.
В результате от ковариации переходят к коэффициенту корреляции.
Коэффициент корреляции также может характеризовать плотность связи между нормами прибыли двух видов ценных бумаг, но в отличие от ковариации его значение может изменяться исключительно в диапазоне от -1 до 1, что делает использование этого показателя более наглядным и понятным. Чем большее значение коэффициенту корреляции по модулю к единице том более сильная связь существует между нормами прибыли, при этом если его значение положительное, то существует прямая связь, а если отрицательное – обратная. Значение коэффициента корреляции (с12) можно получить разделив ковариацию на произведение среднеквадратичных отклонений норм прибыли для тех двух видов ценных бумаг, плотность связи между которыми оценивается:
.(2.12)
Для определения коэффициента корреляции норм прибыли разных видов ценных бумаг воспользуемся функцией КОРРЕЛЯЦИЯ пункта меню «Анализ данных» пакета прикладных программ Microsoft Excel. В таблице 2.5 отображены коэффициенты корреляции между нормами прибылей акций отечественных предприятий.
