Обоснование рациональных методик поиска особых путей сетевых графиков

Постановка задачи

Как правило, экономисту-проектировщику не представляется сложным, с первого раза, построить оптимальный по структуре сетевой график, когда будет обеспечена максимальная параллельность исполнения отдельных работ. Всё зави­сит от понимания им сущности и содержания каждой работы, входящей в состав сетевого графика.

Труднее обстоит дело с распределением трудовых ресурсов по отдельным видам работ, от которого зависит оптимальность сетевого графика по длительно­сти. Проблема в том, что практически невозможно предугадать, как от­разится на длительности всего проекта и соотношении длительностей различных путей его сетевого графика, перенос трудовых ресурсов с одних работ на другие, в резуль­тате которого, при неизменной трудоемкости работ, происходит увеличение дли­тельности первых и уменьшение длительности вторых. В таких условиях, ос­та­ётся только один способ оптимизации сетевого графика по длительности. Этот способ основан на методе проб и ошибок, когда, первостепенную важность играет задача проверки и анализа оптимальности уже готового, полностью рассчитанного сете­вого графика, с целью выявления ошибок в распределении трудовых ресурсов. Рассмотрим эту задачу и связанные с ней трудности подробнее.

Для сетевого графика существуют понятия пути и его продолжительности. Под путем понимается любая цепочка непрерывно следующих, друг за другом, последовательных во времени работ, от начала проекта до его завершения. Под длительностью пути понимается суммарная длительность всех, входящих в него, последовательных работ. Более понятными, данные определения станут при рас­смотрении следующего раздела. Сейчас же, важно другое, что каждый сетевой график имеет в своём составе два особых пути: критиче­ский и наикратчайший. Критическим путём является путь, имеющий наибольшую продолжительность среди других возможных путей сетевого графика. Наикрат­чайшим путём является путь, который, в отличие от критического пути, имеет наименьшую продолжи­тельность во всём сетевом графике. На понятиях этих двух путей основан наибо­лее простой и распространенный критерий оптимальности сетевого графика, фор­мализуемый следующим образом:

,                                                                            (1.1)

где  – коэффициент напряжённости наикратчайшего пути;

 – длительность наикратчайшего пути, ;

 – длительность критического пути, .

Из критерия (1.1) следует, что некоторый рассматриваемый сетевой график принимается оптимальным, если отношение длительности его наикратчайшего пути к длительности его критического пути не менее 0.7, или, что тоже самое, если длительность наикратчайшего пути отличается от длительности критиче­ского пути не более чем на 30%.

Забегая вперёд, можно сказать, что длительность критического пути, легко найти путём расчёта некоторых, принятых параметров сетевого графика, которые будут подробно рассмотрены в следующем разделе. Длитель­ность же наикрат­чайшего пути, в общем случае неизвестна, и для её нахождения требуется сумми­ровать длительности всех, входящих в него работ.

Теперь встаёт проблема, – а как найти работы, принадлежащие наикратчай­шему пути, чтобы иметь возможность просуммировать их длительности? Решить данную проблему, для человека, интуитивно или простым перебором вариантов, очень проблематично, особенно при большой, сильно разветвленной структуре се­тевого графика. Зачастую и ЭВМ справиться с этой задачей не может, в силу того, что её быстродействие ограничено, а число всех возможных вариантов путей сете­вого графика, уже при стах событиях, может достигать миллионов или даже сотен миллионов.

Так вот, оказывается, эта проблема решаема, причём без перебора вариантов и срав­нительно быстро даже для человека, не говоря уже об ЭВМ. Основной це­лью дан­ной курсового проекта, как раз и является цель показать, а точнее доказать рациональные ме­тодики поиска особых путей сетевого графика, которые не только дают возмож­ность проверки его оптимальности, но и позволяют рационально вы­полнить его оптимизацию по длительности. Последнее заключается в том, что если экономист-проектировщик будет знать, как проходят особые пути сетевого графика, то он сможет, в целях оптимизации, правильно перераспределить трудо­вые ресурсы, а именно – перенести ресурсы с работ, принадлежащих наикратчай­шему пути, на работы, принадлежащие критическому пути, и тем самым уровнять длительности этих путей, для обеспечения выполнения критерия оптимальности (1.1).

Теоретические основы сетевого планирования

Прежде, чем преступать к обоснованию рациональных методик поиска осо­бых путей сетевого графика, необходимо напомнить, что вообще собой представ­ляет сетевой график, и какими основными параметрами он характеризу­ется.

Итак, сетевой график – есть математическая модель упорядочивания про­ектных работ типа “Сигнальный граф” (см. пример на рис.2.1). Любой сигналь­ный граф состоит только из двух элементов: дуг и вершин. В контексте сетевого пла­нирования, дугами являются отдельные работы, изображаемые на сетевом графике в виде стрелок так, что начала стрелок, соответствует началам выполне­ния работ, концы стрелок – их завершению. Вершинами сигнального графа явля­ются так на­зывае­мые события, которые изображаются на сетевом графике в виде кружков, с поряд­ковыми номерами в нижних квадрантах. Как раз события сете­вого графика и служат для целей упорядочивания проектных работ, которое за­ключается в том, что исходящая из неко­торого события работа не может начаться, пока не завер­шаться все входящие в него работы.

Существует масса правил, узаконенных стандартом, придерживаться кото­рых необходимо при построении сетевых графиков. Наиболее важные из них:

− Любой сетевой график должен иметь начальное событие, ра­боты из ко­то­рого только исходят, и конечное событие, в которое они только входят;

− Любой путь сетевого графика должен быть полным. То есть, любая це­почка, непрерывно следующих друг за другом, последовательных во времени ра­бот, должна начинаться в исходном событии сетевого графика, а заканчиваться в конечном;

− Сетевой график не должен иметь замкнутых петель. То есть, недопус­тимо, чтобы конец некоторой работы являлся бы началом другой работы, предше­ствующей первой по времени.

Имея только структуру сетевого графика, невозможно разрешить вопрос о его оптимальности. Требуется проводить расчеты еще целого ряда, принятых па­раметров. К этим параметрам относятся:

−

ранние и поздние сроки наступления событий;

− ранние и поздние сроки начала и окончания работ;

− резервы времени работ и событий.

Ранний срок наступления события – это минимально возможный срок, необ­ходимый для выполнения всех работ, предшествующих данному событию. Расчёт ранних сроков наступления событий ведут в порядке – от начального собы­тия проекта (с номером 0) до завершающего. При расчёте принимают, что ран­ний срок наступления начального события равен 0. Для определения ран­него срока наступ­ления -го события пользуются правилом, математически записывае­мым так:

 ,                                                                   (2.1)

где  – ранний срок наступления рассматриваемого события, ;

 – номер рассматриваемого события;

 – номера предшествующих событий, соединенных с рассматривае­мым работами;

 – ранний срок наступления -го предшествующего события, ;

 – длительность работы, соединяющей -е предшествующее собы­тие с рассматриваемым, .

Таким образом, ранний срок наступления -го события – есть максимально воз­можная сумма из сумм ранних сроков наступления предшествующих событий и длитель­ностей работ соединяющих предшествующие события с рассматривае­мым. Забегая вперёд, надо сказать, что эти суммы равны ранним срокам окончания соответствующих работ. Тогда, ранний срок свершения события – есть макси­мальный из ранних сроков окончания, входящих в него работ.

Поздний срок наступления события – это максимально допустимый срок на­ступления рассматриваемого события, определяемый из условия, что после насту­пления этого события в свой поздний срок остаётся достаточно времени, чтобы выполнить следующие за ним работы. Расчёт поздних сроков наступлений собы­тий ведут в обратном порядке – от завершающего события проекта до на­чального (с номером 0). При расчёте принимают, что поздний срок на­сту­пления завершаю­щего события совпадает с его ранним сроком наступле­ния. Для расчёта позднего срока наступления -го события пользуются правилом, матема­тически записывае­мым так:

,                                                                      (2.2)

где  – поздний срок наступления рассматриваемого события, ;

 – номер рассматриваемого события;

 – номера последующих событий, соединённых с рассматриваемым работами;

 – поздний срок наступления -го последующего события, ;

 – длительность работы, соединяющей -е последующее событие с рассматриваемым, .

Таким образом, поздний срок наступления -го события – есть минимально воз­можная разность из разностей поздних сроков наступления последующих событий и дли­тельностей работ, соединяющих последующие события с рассматриваемым. Забегая вперёд, необходимо сказать, что эти разности равны позд­ним срокам на­чала соответствующих работ. Тогда, поздний срок свершения события – есть ми­нимальный среди поздних сроков начала, исходящих из него работ.

Зная ранний и поздний сроки наступления события, можно определить ре­зерв времени события:

,                                                                               (2.3)

где  – резерв времени рассматриваемого события, .

Резерв времени события показывает насколько можно отсрочить наступление со­бытия по сравнению с его ранним сроком наступления без изменения об­щей про­должительности всего проекта.

Ранний срок начала работы совпадает с ранним сроком наступления её на­чального события, а ранний срок окончания работы превышает его на величину продолжительности этой работы:

;                                                                                   (2.4)

,                                                                           (2.5)

где  – ранний срок начала работы, исходящей из -го события и входящей в -е событие, ;

 – ранний срок окончания данной работы, ;

 – длительность этой работы, ;

 – раннее начало события, из которого исходит рассматриваемая работа, ;

Поздний срок окончания работы совпадает с поздним сроком наступ­ления её конечного события, а поздний срок начала работы меньше на величину продолжи­тельности этой работы:

;                                                                                   (2.6)

,                                                                           (2.7)

где  – поздний срок окончания работы, исходящей из -го события и входящей в -е событие, ;

 – поздний срок начала данной работы, ;

 – длительность этой работы, ;

 – позднее окончание события, в которое входит рассматриваемая работа, .

Полный резерв времени некоторой работы – это максимальное время, на ко­торое можно отсрочить её начало или увеличить продолжительность, не из­меняя директивного срока наступления завершающего события сетевого графика:

,        (2.8)

где  – полный резерв времени работы, исходящей из -го события и входящей в -е событие, .

Свободный резерв времени некоторой работы – максимальное время, на ко­торое можно отсрочить её начало или увеличить её продолжительность при усло­вии, что все события наступают в свои ранние сроки:

,                                     (2.9)

где  – свободный резерв времени работы, исходящей из -го собы­тия и входящей в -е событие, .

В качестве примера, который потребуется и в дальнейшем, основные рас­смотренные параметры сетевого графика рассчитаны для случая, представленного на рисунке 2.1. Здесь, длительности работ, являющиеся исходными данными для расчёта, выбраны произвольным образом. Параметры работ обозначены соответ­ствующими символами возле стрелок. Параметры событий отражены в трёх квад­рантах соответствующих кружков. В левых квадрантах отражены значения ранних сроков свершения событий. В правых – значения поздних сроков свершения собы­тий. В верхних – значения резервов времени событий.

Как говорилось в предыдущем разделе, длительность критического пути легко найти из расчёта параметров сетевого графика. Теперь можно сказать, чему она равна, – она равна сроку свершения завершающего события сетевого графика и, соответственно, определяет длительность выполнения всех проектных работ. По­следнее заключается в том, что проектные работы не могут завершиться в срок, меньший, чем длительность критического пути, и в тоже время, если все проект­ные работы выполняются вовремя, то срок их завершения равен длительности критического пути.

Обоснование рациональных методик поиска особых путей сетевых графиков

Обоснование рациональных методик поиска особых путей сетевого графика основано на смысле полного резерва времени работы, который показывает, на сколько можно отсрочить начало или увеличить продолжительность работы без изменения продолжительности всего проекта. Надо сказать, что этот смысл выте­кает из правил расчёта сетевого графика и давно известен, поэтому сейчас он не требуется в специальном рассмотрении. Важно другое – из смысла полного ре­зерва времени работы следует истинность следующего утверждения, на котором основаны некоторые, приводимые ниже доказательства, – полный резерв времени работы может появиться только за счёт существования другого более длительного пути, нежели путь, в состав которого входит рассматриваемая работа. Это утвер­ждение становится очевидным, если подумать – за счёт чего, у некоторой работы, может появиться возможность отсрочить начало её выполнения или увеличить её продолжительность без изменения срока свершения завершающего события сете­вого графика? Естественно, только за счёт того, что этот срок свершения опреде­ляется другим, более продолжительным путём.

Начнём с доказательства методики поиска критического пути сетевого гра­фика. Для этого рассмотрим ряд вспомогательных теорем.

Теорема 3.1 – Для того, чтобы некоторый путь сетевого графика был бы кри­тическим, необходимо и достаточно, чтобы полные резервы времени всех вхо­дя­щих в него работ были бы равны нулю.

Необходимость – Если некоторый путь является критическим, то полные резервы времени всех входящих в него работ равны нулю.

Докажем это утверждение методом от противного.

 Пусть известно, что некоторый рассматриваемый путь заведомо критиче­ский. Теперь предположим противное – на нём лежит хотя бы одна работа с нену­левым резервом времени. Это означает, что есть другой путь, с большей продол­жительностью, чем рассматриваемый, за счёт чего и получается данный резерв времени. Но, раз имеется более продолжительный путь, то рассматриваемый путь уже не может быть критическим. Полученное противоречие доказывает невоз­можность существования на критическом пути работы с ненулевым полным ре­зервом времени, так как в противном случае, он уже не будет являться критиче­ским. Тогда, для любой работы критического пути остаётся другая возможная си­туация – её полный резерв времени равен нулю. Утверждение доказано.

Поскольку любой сетевой график имеет критический путь, то есть путь с наибольшей продолжительностью, то, на основании только что доказанного, в лю­бом сетевом графике можно найти путь, работы которого имеют только нулевые полные резервы времени.

Достаточность – Если все работы некоторого пути имеют нулевые полные резервы времени, то этот путь обязательно является критическим.

Если некоторый путь имеет работы только с нулевыми полными резервами времени, то это означает, что ни одну работу, указанного пути, нельзя увеличить по длительности без изменения срока свершения завершающего события сетевого графика. Это возможно, только когда сумма длительностей работ, рассматривае­мого пути равна сроку свершения завершающего события, то есть длительности критического пути. Тогда, рассматриваемый путь и является критическим, в силу того, что он равен критическому пути по длительности. Утверждение доказано.

Теорема 3.2 – Если в некоторое событие сетевого графика входит работа с ну­левым полным резервом времени, то среди всех исходящих из данного события работ, обязательно найдётся хотя бы одна, имеющая также нулевой резерв вре­мени. То есть, работы с нулевыми резервами времени следуют друг за другом не­прерывно.

Для доказательства данной теоремы рассмотрим обобщенный пример на ри­сунке 3.1, где, в целях удобства, событиям присвоены условные номера.

Докажем теорему методом от противного.

Пусть для работы, входящеё в событие 2, полный резерв времени . Предположим противное – среди всех работ, исходящих из события 2, нет ни од­ной работы с нулевым полным резервом времени.

Для начала найдём, чему равен поздний срок свершения события 2. Он, в соответствии с формулой (2.2), определяется как минимальное время позднего на­чала работы среди всех работ, исходящих из рассматриваемого события. Пусть поздний срок свершения события 2 равен позднему началу работы, входящей, на­пример, в событие 4:

,

или, в соответствии с выражением (2.8) для полного резерва времени,

.                                                                        (3.1)

Теперь рассмотрим, какое может иметь значение полный резерв времени ра­боты, исходящей из события 1 и входящей в событие 2. В соответствии с форму­лой (2.8):

.                                                             (3.2)

Из формулы (3.2) видно, что минимально возможное значение полного ре­зерва времени работы, исходящей из события 1 и входящей в событие 2, достига­ется тогда, когда величина  достигает своего максимального значения. Из правила определения раннего срока свершения события, задаваемого формулой (2.1), следует, что максимальное значение этой величины может быть равно только раннему сроку свершения события 2, когда ранний срок окончания рассматривае­мой работы самый большой из всех ранних сроков окончания работ, входящих в событие 2. Тогда, минимально возможное значение полного резерва времени ра­боты, исходящей из события 1 и входящей в событие 2 равно:

,

или, исходя из формулы (3.1):

.                                                                                   (3.3)

Поскольку мы предположили от противного, что среди всех исходящих из события 2 работ нет работ с нулевым полным резервом времени, то отсюда сразу вытекает, что и работа, исходящая из события 1 и входящая в событие 2, также не может иметь нулевой полный резерв времени, уж если его минимальное значение заведомо неравно нулю, в соответствии с полученным равенством (3.3). Последнее противоречит условию теоремы. Из этого противоречия следует то, что невоз­можна ситуация, когда при нулевом резерве времени работы, входящей в событие 2, все исходящие из этого события работы имели бы ненулевые резервы времени. Если бы это имело место, то в соответствии с приведённым доказательством, ра­бота, входящая в событие 2 также бы имела ненулевой полный резерв времени. Но ведь это не так по условию теоремы. Тогда для работ, исходящих из события 2 ос­таётся другая возможная ситуация – хотя бы одна из них имеет также нулевой полный резерв времени. Теорема доказана.

Из доказанных выше теорем, непосредственно, следует методика поиска критического пути, приводимая ниже.

Рациональная методика поиска критического пути сетевого графика:

1 Просмотр сетевого графика ведётся от его начального события к конеч­ному;

2 При рассмотрении начального события сетевого графика, в качестве ра­боты, лежащей на критическом пути, выбирается та, которая имеет нулевой пол­ный резерв времени. В соответствии с теоремой 3.1 (утверждение-необходимость), такая работа обязательно будет существовать;

3 При рассмотрении работ, исходящих из события, к которому привила ра­бота с нулевым полным резервом времени, выбирается работа, также имеющая нулевой полный резерв времени. В соответствии с теоремой 3.2, такая работа су­ще­ствует;

4 Если, среди исходящих из некоторого события работ, есть несколько ра­бот с нулевыми полными резервами времени, то выбирается любая. При этом, со­гласно теореме 3.2, процесс построения критического пути в тупик зайти не мо­жет, и рано или поздно дойдет до завершающего события сетевого графика.

Реализация указанных правил даёт путь, состоящий только из работ с нуле­выми полными резервами времени. Тогда, на основании теоремы 3.1 (утвержде­ние-достаточность), этот путь и будет являться критическим.

В целях проверки, доказанная методика применена для сетевого графика, представленного на рисунке 2.1. Здесь, найденные критические пути, выделены жирными стрелками. Как видно, таких путей два, благодаря тому, что среди работ, исходящих из события 0, есть две работы с нулевыми полными резервами вре­мени. Проверить то, что найденные пути являются критическими легко, просум­мировав длительности принадлежащих им работ. Суммы окажутся: во-первых, равными между собой, а во-вторых, наибольшими среди аналогичных сумм дру­гих возможных путей.

Теперь рассмотрим вопрос поиска наикратчайшего пути сетевого графика. Оказывается, для его поиска можно применять, методику поиска критического пути, если использовать идею, высказываемую в следующей теореме.

Теорема 3.3 – Если произвести расчёт параметров заданного сетевого гра­фика по установленным правилам, но заменяя известные длительности работ на те же значения с отрицательным знаком (длительности всех работ будут меньше нуля), то наикратчайший путь сетевого графика станет подчиняться всем свойст­вам кри­тического пути.

Эту теорему легко доказать, используя правило сравнения отрицательных чисел. Данное правило заключается в том, что одно отрицательное число счита­ется большим другого, если абсолютное значение первого меньше абсолютного значения второго. Поскольку длительность наикратчайшего пути, по абсолютному значению наименьшая, среди длительностей всех других путей сетевого графика, то, на основании указанного правила, отрицательная длительность наикратчай­шего пути будет наибольшей среди отрицательных длительностей остальных пу­тей. Тогда, наикратчайший путь, состоящий из работ с отрицательными длитель­ностями, будет критическим, при условии, что все остальные пути, также состоят из работ с отрицательными длительностями. Теорема доказана.

Для проверки доказанной теоремы, параметры сетевого графика на рисунке 2.1 пересчитаны заново, при отрицательных значениях длительностей работ, и пред­ставлены на рисунке 3.2. Как видно, сетевой график на рисунке 3.2 содержит путь, работы которого имеют только нулевые полные резервы времени. Данный путь выделен жирными стрелками. Этот путь, являясь критическим для сетевого гра­фика на рисунке 3.2, в тоже время является наикратчайшим путем для сетевого гра­фика на рисунке 2.1. Последнее можно проверить простым суммированием дли­тельностей его работ. Полученная сумма должна быть наименьшей по абсо­лют­ному значению, среди аналогичных сумм других путей сетевого графика на ри­сунке 2.1.

 Вообще говоря, для нахождения продолжительности наикратчайшего пути, необходимой при анализе оптимальности сетевого графика по критерию (1.1), не обязательно суммировать длительности всех, принадлежащих ему работ. Она уже известна из рассчитанных, при отрицательных длительностях работ, парамет­ров сетевого графика, и равна, как и для любого критического пути, сроку свер­шения завершающего события. Естественно, что данный срок свершения имеет отрица­тельное значение, и поэтому, для нахождения фактической длительности наикрат­чайшего пути, требуется менять это значение на противоположное.

Необходимо сказать, что можно поставить и решить общую задачу поиска пути заданной продолжительности. Но данная задача принципиаль­ной важности, при анализе сетевого графика, не несёт. Для анализа оптимально­сти сетевого гра­фика и осуществления его оптимизации, достаточно знать лишь, как проходят особые пути, и какова их продолжительность. Ответы на эти вопросы и дают ра­циональные методики поиска особых путей, доказанные в этом разделе.