Твердження 1.
Однорідна крайова задача (1),(2) має нетривіальний розв'язок тоді і лише тоді, коли розв’язки та лінійно залежні.
Доведення.
Нехай неоднорідна крайова задача має нетривіальний розв'язок . Оскільки як , так і задовольняють першу крайову умову (2), а , то вронскіан цих розв’язків дорівнює нулю, а отже, вони лінійно залежні. Так само можна довести лінійну залежність розв’язків та . Звідси випливає, що та також лінійно залежні.
Навпаки,нехай зазначені розв’язки лінійно залежні. Тоді для деякої сталої маємо . Тепер зрозуміло,що, наприклад, функція := є розв’язком однорідної крайової задачі. Твердження доведено.
Звідси можна зробити висновок, що множина всіх розв’язків задачі – це сім’я функцій вигляду, , де - довільна стала. Тому, не обмежуючи загальності викладу, вважатимемо, що вибрано так, щоб справджувалась умова нормування
Необхідну умову існування розв’язку неоднорідної крайової задачі встановлює таке твердження.
Твердження 2.
|
|
Якщо задача
(3)
(2)
Має розв’язок , то функція ортогональна до нетривіального розв’язку відповідної крайової задачі (1),(2), тобто
(4)
Доведення.
Застосуємо формулу Гріна до пари функцій та . Оскільки вони задовольняють крайові умови то згідно з властивістю симетричності оператора маємо:
Урахувавши, що і , дістанемо (4). Зауважимо, що при довільному функція теж є розв’язком задачі (3),(2). Аби уникнути такої неоднозначності, умови (2) слід доповнити ще однією. Найприроднішою додатковою умовою є вимога ортогональності
(5)
Твердження 3.
Якщо задача (3),(2),(5) має розв’язок ,то він єдиний.
Доведення.
Справді, різниця двох розв’язків задачі (3),(2),(5) є розв’язком вигляду відповідної однорідної задачі. З умови (5) та нормованості функції одразу випливає, що
Розв’яжемо вироджену крайову задачу за допомогою методу варіації довільних сталих, вважаючи, що умова ортогональності (4) справджується. Виберемо лінійно незалежний з розв’язок однорідного рівняння (1) так, щоб виконувалася рівність
Цим ми дещо спростимо формули, які буде одержано нижче. Шукаємо розв’язок (3) методом варіації сталих у вигляді
(6)
отримаємо таку систему:
Розв’яжемо її відносно та за правилом Крамера.
Маємо рівняння
, (7)
При цьому
Тому, аби розв’язок задовольняв крайову умову в точці ,необхідно вимагати виконання рівності . Звідси і з урахуванням (4) . Остання рівність забезпечить справдження крайової умови в правому кінці проміжку .
Загальний розв’язок першого з рівнянь (7) візьмемо у вигляді , де - довільна стала. Підставивши знайдені функції , в (6), дістанемо одно параметричну сім’ю функцій
|
|
, (8)
Кожна з яких є розв’язком крайової задачі (3),(2). Умову ортогональності (5) завжди можна задовольнити, відповідним чином обравши довільну сталу с1.
Підсумком наведених міркувань є така теорема:
Теорема1
Розв’язок крайової задачі (3) (2) існує тоді і лише тоді, коли функція ортогональна до кожного розв'язку відповідної однорідної крайової задачі.
Тепер покажемо, що розв’язок(8) можна подати у вигляді інтегрального перетворення
,
Де функція задовольняє крайові умови й при кожному
є ортогональною до .
Насамперед, запровадивши функцію
за аналогією з не виродженим випадком, перепишемо (8) у вигляді
(9)
Оскільки , ,
, ,
То задовольняє умову лише в лівому кінці проміжку , адже розв’язок не задовольняє жодної умови (2). Отже, функцію доведеться відповідним чином виправити. Для цього звернемо увагу на такий факт:якщо у формулі(9) зробити заміну - , де довільні функції, то вона й надалі визначатиме розв’язок рівняння (3):адже ортогональна до . Неважко зрозуміти, що перетворена функція задовольнятиме обидві крайові умови, якщо функцію вибрати так, щоб при деякому виконувалися рівності
, , , (10)
Найзручнішим буде такий вибір:
Легко перевірити, що ця функція не лише задовольняє умови (10), а й є розв’язком неоднорідного рівняння = . При цьому, якщо додатково вимагати, аби розв'язок був ортогональним до на ,то .
Тепер залишилось покласти
І вибрати функцію так, щоб була ортогональною до . Для цього домножимо праву частину останньої нерівності на , одержаний добуток зінтегруємо за змінною і результат прирівняємо до нуля. З одержаного рівняння легко знайдемо
.
Остаточно маємо
(11)
З урахуванням властивостей цієї функції дамо таке означення.
Означення.
Функцію називатимемо узагальненою функцією Гріна крайової задачі (2)-(3), якщо вона задовольняє такі умови:
1. Функція неперервна в квадраті К = ,має неперервні частинні похідні , у кожному з трикутників , ;
2. Для кожного фіксованого функція задовольняє рівняння Lx(t)= - при всіх , , а також крайовій умові (2).
3. На діагоналі квадрата К похідна має розрив першого роду зі стрибком 1/p(s): - .
4. Для кожного фіксованого функція ортогональна до функції : .
5.
Сформулюємо алгоритм відшукання узагальненої функції Гріна.
· Знаходимо таку фундаментальну систему , лінійного однорідного рівняння (1), щоб розв'язок задовольняв умови(2).
· Знаходимо будь-який розв'язок g(t,s) неоднорідного рівняння Lx(t)= - .
· Узагальнену функцію Гріна шукаємо у вигляді
Функції обираємо так, щоб останній доданок задовольняв пунктам 1 і 3 означення узагальненої функції Гріна;функцію - так, щоб задовольняла крайові умови задачі;нарешті, вибором функції забезпечуємо виконання умови ортогональності 4.
Проаналізувавши вигляд правої частини формули (11), можна зробити висновок, що з потрібними властивостями існують.
Розглянемо приклад.
Розв’яжемо крайову задачу
, < < ;
Розв'яжемо відповідне однорідне рівняння , застосувавши метод Ейлера. Тобто розв'язок шукаємо у вигляді = . Знайшовши
= , = , підставивши ці значення в рівняння та скоротивши на маємо так зване характеристичне рівняння: ,з якого знайдемо корені :
З цього маємо фундаментальну систему розв’язків рівняння:
За теоремою про загальний розв'язок однорідного рівняння, маємо:
де
Тому можемо сказати, що відповідна однорідна задача має однопараметричну сім’ю розв’язків , де – довільна стала, для якої умова теореми 1 виконано, бо . Методом невизначених коефіцієнтів знайдемо частинний розв’язок диференціального рівняння задачі: . Загальний розв’язок цього рівняння має вигляд:
|
|
Для того, щоб задовольнити крайовій умові, достатньо покласти . Сталу виберемо так, щоб справджувалась умова ортогональності шуканого розв’язку й функції :
Звідси = . Остаточно маємо:
Знайдемо функцію Гріна для цієї крайової задачі
За функцію візьмемо (коефіцієнт вибирається з умови нормованості ) Розв'язком однорідного рівняння, який не задовольняє крайові умови, є, наприклад .
Далі рівняння
Має частинний розв'язок вигляду , отже, узагальнену функцію Гріна шукаємо у вигляді
(коефіцієнт вбирають у себе функції і ).
Оскільки в нашому випадку , то умови неперервності і стрибка похідної функції при мають вигляд
, .
Звідси , ;
Наслідком крайової умови в точці є рівність . Тоді в точці маємо: .Отже, функція
задовольняє пунктам 1-3 означення узагальненої функції Гріна.
Нарешті, функцію визначимо з умови ортогональності
. Обчисливши відповідні інтеграли, знаходимо
Остаточно маємо