Висловлення та формули

Пошукова робота

на тему:

Елементи логіки

 

Висловлення та формули

Одним з основних понять логіки є висловлення – розповідне речення, про яке можна стверджувати, що воно є або істинним, або хибним.

Звичайно, в мові існують речення, про які не можна сказати, істинні вони чи хибні. Наприклад, речення "Це речення є хибним". Якщо припустити, що воно є істинним, то з нього випливає його хибність, а якщо воно є хибним, то маємо, що воно істинне. Отже, це речення не можна розглядати як висловлення. Насправді воно є варіантом відомого парадокса брехуна: неможливо сказати, чи є істинною або хибною фраза брехуна "Я брешу".

Проте наявність таких парадоксальних речень не заважатиме нам далі, оскільки математичні знання формулюються саме висловленнями.

Хибність чи істинність висловлень може змінюватися, наприклад, у часі ("Зараз ніч"), у просторі ("Ми летимо над Африкою") тощо. Будемо дивитися на висловлення як на змінну, що може мати одне з двох значень – "хибність" або "істина", позначені 0 і 1 відповідно. Ці значення вважаються протилежними одне до одного.

Означення. Змінна з можливими значеннями "хибність" або "істина" називається пропозиційною.

Будемо позначати пропозиційні змінні великими літерами A, B, C, …, можливо, з індексами. Ці літери також називаються пропозиційними.

З висловлень можна одержувати інші висловлення, пов'язуючи їх сполучниками "та", "або", "якщо …, то …" та іншими. Ці сполучники позначаються спеціальними знаками й називаються пропозиційними зв'язками. Означимо їх.

Означення. Висловлення вигляду "Не A " записується Ø A й називається запереченням висловлення A. Його значення є протилежним до значення A.

Означення. Висловлення вигляду " A та B " записується як A & B або A Ù B або A × B і називається кон'юнкцією висловлень A і B, або їх логічнимдобутком. Висловлення A і B називаються співмножниками кон'юнкції. Вона істинна, коли кожний із співмножників істинний. Якщо ж хоча б один із них хибний, то й вона хибна. Її ще записують у вигляді .

Означення. Висловлення вигляду " A або B " записується як A Ú B і називається диз'юнкцією висловлень A і B, або логічною сумою (доданків диз'юнкції). Вона істинна, коли хоча б один із доданків істинний (можливо, і обидва). Якщо ж обидва доданки хибні, то й вона хибна. Її ще записують у вигляді .

Означення. Висловлення вигляду "Якщо A, то B " записується як A ® B і називається імплікацією з засновком A і висновком B. Імплікація хибна, коли засновок істинний, а висновок хибний. В усіх інших випадках вона істинна. Наприклад, висловлення "Якщо 2*2=4, то Сонце обертається навколо Землі" за цим означенням є хибним, а висловлення "Якщо 2*2=5, то Сонце обертається навколо Землі" – істинним. Імплікацію часто позначають знаком "Þ": A Þ B.

Зауважимо, що запис A ® B читається також, як " B є необхідною умовою для A ", або як " A є достатньою умовою для B ", або як "З A випливає B ", або як " A тільки тоді, коли B ", або як " B тоді, коли A ".

Імплікація "З не B випливає не A ", що позначається (Ø B)®(Ø A), називається висловленням, протилежним до висловлення A ® B. Імплікація "З B випливає A ", що позначається B ® A, називається висловленням, оберненим до висловлення A ® B.

Означення. Висловлення вигляду " A тоді й тільки тоді, коли B " записується як A «B і називається еквівалентністю висловлень A і B. Вона істинна, коли значення висловлень A і B збігаються. Якщо ж вони різні, то еквівалентність хибна. Наприклад, висловлення "Якщо 2*2=5, то Сонце обертається навколо Землі" є істинним. Еквівалентність часто позначають не знаком "«", а знаком "Û".

Зауважимо, що запис A «B читається також як " B є необхідною і достатньою умовою для A ", а також як "Якщо A, то B, і якщо B, то A ". Заперечення еквівалентності Ø(A «B) читається як "Або A, або B ". Складений сполучник "або …, або …" інколи називається " виключне або ". Підкреслимо, що диз'юнкція A Ú B відрізняється від заперечення еквівалентності Ø(A «B).

Означення. Висловлення записують у вигляді формул за такими правилами:

1) пропозиційна літера є формулою;

2) якщо X і Y – формули, то (Ø X), (X Ù Y), (X Ú Y), (X ® Y), (X «Y) також є формулами;

3) інших формул немає.

За цими правилами, наприклад, Ø(A ® B), ((A «B)&(Ø(A Ú B))) є формулами, A Ú B Ù C – ні. Далі ми розглянемо узгодження, які дозволяють скорочувати запис формул. Зокрема, ці узгодження дозволяють розглядати A Ú B Ù C як формулу. Тут лише зауважимо, що можна не записувати зовнішні дужки формул, наприклад, писати X ® Y.