Неформальне знайомство з кванторами

У математиці, як і у повсякденному житті, виникають твердження зі специфічною структурою. Ця структура робить можливими міркування, які не можна відтворити виведенням висловлень. Класичним прикладом таких міркувань є:

Кожна людина смертна.

Сократ – людина.

Звідси випливає, що Сократ смертний.

Очевидно, що висловлення "Сократ смертний" не є логічним висновком засновків "Кожна людина смертна" і "Сократ – людина". Проте коректність наведених міркувань ні в кого не викликає сумніву. Очевидно, що вона зумовлена якимсь особливим змістом слова "кожна".

Введемо додаткові позначення. Нехай x позначає деяку змінну, значення якої можуть мати деяку властивість P. Такі змінні називаються предметними. Висловлення " x має властивість P " позначимо P (x). Наприклад, висловлення "Ціле число x є парним" позначимо E (x). Значення такого висловлення залежить від значення цієї змінної. При x =1 висловлення E (x) хибне, при x =2 – істинне. Замість літери x можна записати її значення, наприклад, E (2).

Речення "Кожне значення x має властивість P ", або "Всі значення x мають властивість P ", або "Всі x мають властивість P ", або "При всіх x справджується властивість P " позначимо записом " x P (x). У цьому записі частина " x називається квантором загальності. Слово "квантор" походить від слова "квантифікація", що означає "кількісне вираження". Продовжуючи приклад про парні числа, зауважимо, що твердження " x E (x) є хибним.

Речення "Існує значення x, що має властивість P ", або "Деякі значення x мають властивість P ", або "При деякому значенні x справджується властивість P ", або "Деякі x мають властивість P " позначимо записом $ x P (x). У цьому записі частина $ x називається квантором існування. Очевидно, що у прикладі про парні числа твердження $ x E (x) є істинним.

Очевидно, що

" x P (x) ® $ x P (x),

причому твердження " x P (x) і $ x P (x) нерівносильні.

Розглянемо деякі з можливих застосувань пропозиційних зв'язок до виразів із кванторами. Заперечення Ø(" x P (x)) читається як "неістинно, що всі значення x мають властивість P ", тобто як "існує значення x, що не має властивості P ". Таке речення можна позначити як $ x Ø P (x). Таким чином,

Ø(" x P (x)) º $ x Ø P (x).

Аналогічно

Ø($ x Ø P (x)) º " x Ø P (x).

Висловлення " x P (x) Ù " x Q (x) читається як "всі значення x мають властивість P і всі значення x мають властивість Q ", тобто "всі значення x мають властивість P і властивість Q ". Таким чином,

(" x P (x))Ù(" x Q (x)) º " x (P (x)Ù Q (x)).

Висловлення " x P (x) Ú " x Q (x) читається як "усі значення x мають властивість P або всі значення x мають властивість Q ". З цього речення випливає, що "усі значення x мають властивість P або властивість Q ", але ці два речення не рівносильні. Таким чином, " x (P (x)Ú Q (x)) є логічним висновком висловлення (" x P (x))Ú(" x Q (x)), тобто

((" x P (x))Ú(" x Q (x))) ® " x (P (x)Ú Q (x)),

але вони нерівносильні.

Приклад. Якщо P (x) позначає речення " x – парне число", а Q (x) – " x – непарне число", то висловлення " x (P (x)Ú Q (x)) є істинним, а (" x P (x))Ú(" x Q (x)) – хибним.

Насамкінець, розглянемо речення з двома й більше кванторами. Вони з'являються, коли йдеться про властивості пар, трійок тощо змінних. Наприклад, речення "При будь-якому натуральному значенні x існує значення y, таке, що x є дільником y " можна записати як

" x ($ y D (x, y)),

де D (x, y) позначає речення " x є дільником y ".

Речення вигляду "При будь-якому значенні x справджується, що при будь-якому значенні y істинно A (x, y)" можна позначити так:

" x (" y A (x, y)).

Будемо опускати дужки, записуючи, наприклад, " x $ y D (x, y) або " x " y A (x, y). Останній вираз можна прочитати також, як "При будь-якому значенні x і при будь-якому значенні y істинно A (x, y)".

Аналогічно речення вигляду " При будь-якому значенні x і при будь-якому значенні y і при будь-якому значенні z істинно A (x, y, z)" можна позначити виразом

" x " y " z A (x, y, z).

І так далі. Розглянемо, наприклад, твердження великої теореми Ферма:

Рівняння zⁿ=xⁿ+yⁿ, де n – ціле число, більше 2, не має розв'язків у цілих додатних числах.

Одним із можливих записів цього твердження є такий:

" x " y " z " n ((n >2) ® (zⁿ ¹ xⁿ + yⁿ)).