Нормальний закон розподілення ресурсу

 

Для нормального закону розподілення:

 

                                                              (6)

 

де f(t) – функція щільності ймовірності (диференціальна функція);

   і σ – відповідно середнє значення і середньоквадратичне відхилення;

е – основа натуральних логарифмів (е=2,718...).

Графік функції f(T) показаний на рис. 2. Як видно з графіка, найбільше значення функція буде мати при середньому значенні напрацювання. Чим більше значення випадкової величини напрацювання відрізняються від середнього, тим менша щільність ймовірності відповідає таким значенням.

При цьому діапазон  ± σ охоплює 68,3% усіх значень випадкової величини, діапазон + 2σ – 95,4%, а + 3σ – 99,7% всіх значень. В практичних розрахунках вважають, що весь діапазон варіацій випадкової величини, яка розподілена по нормальному закону, лежить в межах 6σ (3σ – в бік її збільшення від середнього значення і 3σ – в бік її зменшення від середнього значення).

 

Рис.3. Щільність розподілення ресурсу f(t) і інтегральний закон розподілення F(t). P(t) – ймовірність того, що ресурс перевищує задане напрацювання t.

 

Відома функція щільності ймовірності дозволяє визначити інтегральний закон розподілення випадкової величини. На рис.3, крім функції щільності розподілення ресурсу виробу, зображений інтегральний закон розподілення ресурсу цього виробу (суцільна крива нижнього графіка).

На нижньому графіку по вісі ординат відкладена величина F(t) – ймовірність того, що ресурс менше заданого напрацювання t. На дільниці від 0 до t=t₁ ймовірність цієї події (ресурс виробу менше заданого напрацювання t) дорівнює нулю, оскільки до напрацювання t=t₁ усі вироби зберігають свій ресурс; до моменту напрацювання t₃ всі вироби досягнуть граничного стану, при цьому F(t₃)=1; до напрацювання t₂ допрацює тільки половина виробів, при цьому F(t₂)=0,5.

Для побудови нижнього графіка необхідно визначити на верхньому графіку площу між віссю абсцис і графіком функції щільності розподілення для кожного напрацювання (заштрихована на рисунку площа) і її значення відкласти як ординату нижнього графіка. Тобто:

 

                                                            (7)

 

Для нормального закону розподілення:

 

                                              (8)

 

Інтеграл не береться. При σ=1 і =0 він приводиться до вигляду:

 

                                                                (9)

 

Інтеграл в отриманому виразі не описується через елементарні функції, але його можна обчислити через спеціальну функцію, яка виражає інтеграл від виразу , для якого складені таблиці.

При цьому можна записати, що:

 

F(t)=Фо ,                                                    (10)

 

де Фо(t) – центрована функція ЗНР при σ=1 і =0. Значення цієї центрової функції наведені в таблиці 3.