Інтегрування частинами

План

· Інтегрування частинами

· Інтегрування часток

· Заміна змінної

Інтегрування частинами

Нехай і – диференційовані функції на

Тоді або

Звідси

(8.16)

Формула (8.16) називається формулою інтегрування частинами в невизначеному інтегралі.

Користуючись формулою (8.16), рекомендується обчислення інтегралів від таких функцій:

де –поліном, – раціональна функція . Описати всі можливі випадки застосування формули інтегрування частинами неможливо. Інтегруючи такі вирази, завжди виникає дилема: що взяти за , а що – за . Інтегруючи вирази вигляду , , після того як підінтегральна функція буде розписана за властивостями 4⁰ і 5⁰, одержимо інтеграли вигляду , де - одна з функцій в яких слід за брати , бо, в протилежному випадку, інтеграл ускладнюватиметься за рахунок зростання степенів . В інтегралах , де - одна з функцій вигідно за брати . В інших випадках вибір здійснюється залежно від того, при якому з виборів легше знайти за , хоч це теж не є абсолютною істиною. Іноді доводиться експериментувати.

Інтегруючи вирази , доцільно за взяти . Знаходження із співвідношень теж здійснюється інтегрування частинами.

Для прикладу знайдемо

Приймаючи , а , знайдемо

Далі матимемо , тобто дістанемо інтеграл .

Знову, взявши , знайдемо . Отже, одержимо таку систему рівнянь відносно та :

Звідси

Приклад 1.

Позначивши ,

одержимо . Звідси

. (8.17)

Остання формула є рекурентною, тобто, знаючи, що , можна поступово знайти , де – ціле число,

більше за одиницю. Наприклад, при

Звідси .

Приклад 2. .

Нехай Тоді

і

У новому інтегралі степінь величини понизився на одиницю, а це означає, що інтеграл став простішим, ніж був.

Знайдемо тепер . Маємо .

Звідси

Отже, на основі формули (8.16) одержимо

Враховуючи значення , знаходимо

.

Приклад 3.

Із останньої рівності одержимо

.

Обчислимо тепер

Звідси .

Остаточно з урахуванням , матимемо

Останній приклад показує, що часто інтегрування частинами приводить до мети скоріше в тих випадках, де, як це здавалось би, доцільніше застосувати інші методи. У цьому можна переконатися, спробувавши знайти первісну для функції , застосувавши наприклад, заміну змінної за формулою , про що мова буде іти пізніше.

Інтегрування часток

Через те, що то

. (8.18)

Користуючись цим, стають очевидними такі формули:

.

Нехай маємо , причому , де – довільне дійсне число. Тоді

.

Розглянемо інтеграл вигляду якщо , то

, (8.19)

де .

Приклади.

1. .

2. .

3. .

Через те що , то

.

Заміна змінної

Нехай потрібно обчислити інтеграл причому безпосередньо первісну ми знайти не можемо, але відомо, що вона існує.

Зробимо заміну змінної в підінтегральному виразі

де неперервна функція з неперервною похідною, що має обернену функцію. Тоді і в цьому випадку має місце формула

(8.20)

Формулу (8.20) слід розуміти так, що після інтегрування в правій частині рівності замість буде підставлено його вираз через

Щоб довести рівність (8.20), потрібно довести, що похідні за від обох частин рівності рівні між собою:

Ми тут використали правило диференціювання оберненої функції.

Отже, похідні за від обох частин рівності (8.20) рівні, що й треба було довести.

Функцію потрібно вибирати так, щоби можна було обчислити інтеграл, що стоїть в правій частині рівності (8.20).

Фактично у п. 9.3.5 теж йшлося про заміну змінної, в чому можна безпосередньо переконатися.

Не можна дати універсальних замін змінних, які зводили б заданий інтеграл до простішого. Але для ряду випадків це можна здійснити. Доцільно, наприклад, в інтегралах, що містять під знаком інтеграла вирази вигляду

застосувати відповідно такі заміни змінних: або

або .

За подальшого вивчення методів інтегрування розглядатимуться інші заміни змінних.

Приклади.

1. . Підстановка зводить інтеграл до такого:

2. . Щоб позбутися експонент, доцільно скористатися такою заміною змінної .Тоді і інтеграл набере вигляду