Оцінка результатів і похибок сумісних та сукупних вимірювань

 

Загальною ознакою сумісних і сукупних вимірювань, відповідно до їх визначення (див. § 1.5), є те, що значення шуканих величин визначають, розв’язуючи систему рівнянь, які зв’язують шукані величини з деякими іншими величинами, вимірюваними прямими або опосередкованими методами, причому вимірюють декілька комбінацій значень цих величин. Вимірювання, проведені для кожної комбінації, дозволяють одержати одне рівняння, а сукупність цих рівнянь для всіх комбінацій являє собою систему рівнянь, в яку входять також усі значення шуканих величин. Цю систему рівнянь, відповідно до (1.7), запишемо для стислості записів у вигляді

, (4.36)

де - значення шуканих величин, ;

 - значення величин, вимірюваних прямими або опосередкованими методами в q-му досліді, ;

n - число дослідів;

k - число величин, які вимірюються в кожному досліді;

m - число шуканих величин.

Рівняння, як і рівняння, за формою однакові для сумісних і сукупних вимірювань. Їх відмінністю є тільки фізична суть шуканих величин.

Якщо  є значеннями тієї самої фізичної величини (наприклад, масами гир певного набору або довжинами лінійних мір), то вимірювання сукупні. Якщо ж  - значення різних фізичних величин (наприклад, опору і температури), то вимірювання сумісні. Ще раз підкреслимо, що такий поділ вимірювань дуже умовний, але він традиційно існує.

Після проведення n дослідів одержують n комбінацій значень вимірюваних величин . Підставляючи  у початкову систему і проводячи необхідні перетворення, одержимо систему рівнянь

Рівняння (4.37) містять у собі шукані величини  і числові коефіцієнти . Для визначення m невідомих значень шуканих величин  необхідно мати m рівнянь. Тоді результати вимірювань величин  і довірчі границі їх похибок можна знайти за методиками обробки результатів опосередкованих вимірювань. Проте, з метою зменшення похибок результатів вимірювань, дослідів проводять дещо більше, ніж число m невідомих величин , тобто .

Оскільки точність вимірювання величин  обмежена, то умовні рівняння одночасно не перетворюються в тотожності при жодних значеннях шуканих величин , а отже, не виникає можливості визначення їх істинних значень. Тому задача зводиться до знаходження оцінок шуканих величин , найбільш наближених до істинних значень. Позначимо такі оцінки . Якщо значення  підставити в умовні рівняння, то їх ліві частини, в загальному випадку, будуть відрізнятися від правих частин. Такі рівняння і названі умовними. Для одержання тотожності введемо в праві частини умовних рівнянь деякі величини , які називають залишковими похибками умовних рівнянь або відхилами. Звідси маємо

. (4.38)

Для розв’язання системи умовних рівнянь застосовується метод найменших квадратів (МНК), згідно з яким оцінки  вибирають так, щоб мінімізувати суму квадратів відхилів

.

Розв’язання задачі в самому загальному випадку, коли умовні рівняння нелінійні, а результати окремих вимірювань корельовані, дещо утруднено. Тому розглянемо окремий випадок, коли умовні рівняння лінійні або приведені до лінійного вигляду, а результати вимірювань величин  рівноточні і некорельовані. Тоді оцінки, одержані методом найменших квадратів, будуть обґрунтованими і незміщеними, а при нормальному розподілі результатів вимірювань ще й ефективними. У цьому випадку система рівнянь може бути приведена до вигляду

 (4.39)

де - коефіцієнти, одержані із системи рівнянь після її лінеаризації (якщо вона нелінійна) і підстановки значень величин , причому q - рядок, j - стовпчик;

 - постійна величина.

Сума квадратів відхилів визначається із системи рівнянь

 

Як відомо, необхідною умовою мінімуму диференціальної функції багатьох змінних, у даному випадку , є виконання рівнянь:

 

Їх можна розглядати як рівняння відносно величин у математичній статистиці вони називаються нормальними рівняннями.

Використовуючи рівність, знайдемо частинні похідні і прирівняємо їх до нуля:

Запишемо одержану систему рівнянь у компактному вигляді

Ця система рівнянь є лінійною відносно шкали величин . Внаслідок розв’язання системи нормальних рівнянь одержують m невідомих величин . Для спрощення запису цієї моделі використовують позначення Гаусса для сум:

; ; .

З урахуванням цих позначень система нормальних рівнянь набуває вигляду

Як відомо, розв’язання такої лінійної системи є лінійними комбінаціями величин :

де коефіцієнти  знаходять, розв’язуючи систему рівнянь (4.44) за допомогою визначника для кожної з шуканих величин:

,

де ;

.

Визначник  одержаний заміною у визначнику  j-го стовпця стовпцем вільних членів у (4.44).

Отже, .

Визначивши з відхили  і підставивши їх у рівняння (4.42), одержимо такі рівності:

,

що виражають властивості відхилів . Ці рівності застосовуються для перевірки правильності визначення оцінок  шуканих величин після розв’язання системи рівнянь.

Визначення оцінок  шуканих величин  пов’язано з великим обсягом обчислень, який швидко збільшується із збільшенням числа умовних рівнянь. Останнє необхідно для підвищення точності одержаних оцінок. У сучасні дні обробка результатів сумісних і сукупних вимірювань виконується за допомогою ЕОМ за стандартними програмами. Тому точність оцінок істинних значень вимірюваних величин може бути значно підвищена при збільшенні числа умовних рівнянь до кількох десятків і навіть сотень, а в деяких випадках і більше.

Для оцінки точності одержаного розв’язання системи рівнянь звичайно припускають, що точність визначення коефіцієнтів  значно вища від точності визначення коефіцієнтів . Це припущення, як правило, виправдане в багатьох практичних випадках. При його виконанні похибки оцінок  шуканих величин  визначаються тільки дисперсіями результатів вимірювання останніх. А враховуючи, що згідно з рівняннями оцінки  є лінійними комбінаціями величин , маємо

,

де - оцінка дисперсії шуканих величин

 - оцінка дисперсії коефіцієнтів .

Якщо припустити, що всі результати спостережень є рівноточними, а отже, всі дисперсії  у виразі однакові

,

то оцінка СКВ

Для обчислення  рекомендується досить простий вираз

,

в якому залишкові похибки  визначають із рівнянь після визначення оцінок  згідно з системою рівнянь.

Якщо точність визначення усіх коефіцієнтів системи рівнянь (4.45) приблизно однакова, то оцінку СКВ результату вимірювань величин  визначають за формулою

де - алгебраїчні доповнення головного визначника D, які одержують виключенням з нього j-го рядка та j-го стовпця.

З рівнянь випливає, що точність сукупних і сумісних вимірювань залежить від співвідношення числа шуканих величин m і числа умовних рівнянь n. Чим значніша умова , тим точніше результати обробки. Якщо m і n близькі, то результати обробки визначаються з грубими похибками.

Довірчі інтервали для істинних значень усіх вимірюваних величин одержують за розподілом Стьюдента при числі степенів вільності .

Якщо при сукупних і сумісних вимірюваннях умовні рівняння нелінійні, то застосовують їх лінеаризацію.

Таким чином, методика обробки результатів сукупних і сумісних вимірювань така:

1. Записують систему умовних рівнянь при  підстановкою експериментальних даних у рівняння початкової залежності.

2. Систему умовних рівнянь приводять до нормального вигляду. Для обчислення коефіцієнтів нормальних рівнянь складають допоміжну табл. 2, яка дозволяє також перевірити правильність визначення шуканих величин.

 

Таблиця 2.

q			...			...		...		...				...
1			...			...		...		...				...
2			...			...		...		...				...
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
n			...			...		...		...				...
			...			...		...		...		…		...

Визначають оцінки шуканих величин , розв’язуючи систему нормальних рівнянь, для чого використовують один із методів:

а) метод, який ґрунтується на послідовному виключенні невідомих (метод Гаусса);