Аналитическое решение

Содержание

Введение

. Аналитическое решение

. Стандартная схема статистического моделирования

. Рациональная схема статистического моделирования

Заключение

Список использованных источников

Приложения

 

Введение

Требуется определить математическое ожидание выходного сигнала X неустойчивого апериодического звена в заданный момент времени Т. Модель звена:

 

 

где g = G(t), X(0) = A.

Данная модель звена содержит случайные параметры с равномерным законом распределения в заданных интервалах.

Допустимая абсолютная погрешность результата: ε_доп. = 0,01.

Задачу решить тремя способами:

·   Используя стандартную схему статического моделирования;

·   Используя рациональную схему статистического моделирования с применением метода расслоенной выборки;

·   Аналитически.

Результаты аналитического решения использовать для проверки результатов статистического моделирования и для обоснования построения рациональной схемы моделирования.

При использовании рациональной схемы статистического моделирования обеспечить снижение требуемого количества опытов по сравнению со стандартной схемой не менее чем в 10 раз.

Исходные данные (вариант 2-2):

G = 1 ÷ 1.4,

a = 0.6 ÷ 0.8,

T = 1.3,

A = 1,

k = 1.2.

Аналитическое решение

статистический моделирование математический апериодический

Решим дифференциальное уравнение вида[1]:

 

 (1)

 

где g = G(t),

X(0) = A.

Сначала найдем решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:

 

 

Подставим полученное решение однородного дифференциального уравнения в (1):

Найдем С₁ из условия X(0) = A:

В результате имеем:

Решение исходного дифференциального уравнения (1) имеет вид:

 (2)

 

где g - случайный параметр, распределенный по равномерному закону в интервале [1;1.4],

a - случайный параметр, распределенный по равномерному закону в интервале [0.6;0.8],

Для Т=1.3 с учетом статистической независимости k и g определим искомую характеристику:

 

 

где  - искомое математическое ожидание.

С учетом (1) находим:

Таким образом,

Определим дисперсию:

 

, (3)

 

где  - дисперсия выходного сигнала.

Введем обозначение:  и найдем  :

 

 (4)

 

Рассчитаем слагаемые, входящие в (4):

;

Таким образом, 21.77.

Подставив полученные значения в (3), определим дисперсию выходного сигнала:

С учетом известной дисперсии оценим необходимое количество опытов с погрешностью :

 

,

 

где - необходимое количество опытов.

Значение параметра  зависит от доверительной вероятности . Примем P_д=0,997 и a_д=3. Подставив значения параметров в (5), получим:

 опытов.

Все перечисленные расчеты производились в математическом пакете MathCAD [2], приводятся в Приложении А.