Связь между входным и выходным процессами во временной области

Изображение выходного процесса  равно произведению изображения входного процесса  на изображение импульсной переходной функции :

.

Согласно одной из теорем о преобразовании Лапласа, произведению изображений соответствует свертка оригиналов, т.е. из последнего выражения следует

                          (1)

и

.                         (2)

В этих выражениях нередко верхний предел интегрирования полагается равным бесконечности. При определенных условиях это можно делать.

Для физически осуществимых систем значение импульсной переходной функции равно нулю при отрицательных значениях аргумента, т.е. для таких систем

.

Поэтому верхний предел в выражении (1) можно устремить к бесконечность, т.е. положить

Именно в такой форме обычно используется выражение выходного процесса через входной во временной (в действительной) области.

Нередко в качестве входного воздействия принимается не просто воздействие при нулевых начальных условиях, а равное нулю при отрицательном времени.

Однако, если  при , то  и верхний предел в выражении (2) можно устремить к бесконечности, не изменив значения интеграла, т.е. положить

.

В приведенных выше выражениях нет уточнения, что считать входным, а что выходным процессом. Эти понятия определяют вместе с определением передаточной функции. Если под входным процессом понимать управляющее воздействие, а в качестве выхода рассматривать сигнал ошибки, то для получения изображения сигнала ошибки следует воспользоваться передаточной функцией по ошибке. Обратное преобразование Лапласа от такой передаточной функции называется импульсной переходной функцией по ошибке. Она позволяет определить сигнал ошибки по выражению входного сигнала (во временной области):

.

Здесь  - импульсная переходная функция системы по ошибке, обратное преобразование по Лапласу от передаточной функции по ошибке.

И вообще, если рассматривать выражения выходного сигнала через внешние воздействия в частотной области как сумму произведений изображений, то в действительной области каждому такому произведению будет соответствовать свертка.

Другими словами, выходной процесс системы, на которую действуют управляющее  и возмущающее  воздействия со своими передаточными функциями  и , в действительной области можно представить в виде

,

.