2020-04-20
737
Так средневековые логики называли следующую схему рассуждений:
Либо А, либо В; А Либо А, либо В; В
____________________________________
Неверно В Неверно А
Другая запись:
Либо А, либо В. А. Следовательно, не – В.
Либо А, либо В. В. Следовательно, не – А.
Посредством этих схем от утверждения двух взаимоисключающих альтернатив и установления того, какая из них имеет место, осуществляется переход к отрицанию второй альтернативы: либо первое, либо второе, но не оба вместе; есть первое; значит, нет второго. Например:
Достоевский родился либо в Москве, либо в Петербурге.
Он родился в Москве.
__________________________________________________
Неверно, что Достоевский родился в Петербурге.
Дизъюнкция, входящая в данную схему, является исключающей, она означает: истинно первое или истинно второе, но не оба вместе. Такое же рассуждение, но с неисключающей дизъюнкцией (первое или второе, но возможно, что и первое, и второе), логически неправильно. От истинных посылок оно может вести к ложному заключению:
На Южном полюсе первым был Амундсен или был Скотт.
На Южном полюсе первым был Амундсен.
__________________________________________________
Неверно, что там был Скотт.
Обе посылки истинны: и Амундсен, и Скотт достигли Южного полюса, заключение же ложно. Правильным является умозаключение:
На Южном полюсе первым был Амундсен или Скотт.
На этом полюсе первым был Амундсен.
_______________________________________________
Неверно, что там первым был Скотт.
Модус толлендо поненс
Этим термином средневековые логики обозначали разделительно-категорическое умозаключение: первое или второе; не первое; значит второе. Первая посылка умозаключения – разделительное (дизъюнктивное) высказывание, вторая – категорическое высказывание, отрицающее один из членов дизъюнкции; заключением является другой ее член:
А или В; неверно А А или В, неверно В
__________________ Или: __________________
В А
Другая форма записи:
А или В. Не – А. Следовательно, В.
А или В. Не – В. Следовательно, А.
Например:
Множество является конечным или оно бесконечно.
Множество не является конечным.
______________________________________________
Множество бесконечно.
Иногда эту схему рассуждения именуют дизъюнктивным силлогизмом.
С использованием логической символики умозаключение формулируется так:
A v B, ~ A A v B, ~ B
_________ Или: ___________
B А
В современной логике модус толлендо поненс называется также правилом удаления дизъюнкции. Ему соответствует логический закон:
(A v B) & ~ A → B,
если А или В и ~ А, то В.
Законы де Моргана
Широкое применение находят законы, названные именем американского логика А. де Моргана и позволяющие переходить от утверждений с союзом «и» и к утверждениям с союзом «или», и наоборот:
~ (A & B) → (~ Av ~ B),
если неверно, что есть и первое и второе, то неверно, что есть первое, или неверно, что есть второе;
(~ Av ~ B) → ~ (A & B),
если неверно, что есть первое, или неверно, что есть второе, то неверно, что есть первое и второе. Объединение этих двух законов дает закон (↔ - эквивалентность, «если и только если»):
~ (A & B) ↔ (~ Av ~ B).
Словами обычного языка этот закон можно выразить так: отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний. Например: «Неверно, что завтра будет холодно и завтра будет дождливо, тогда и только тогда, когда завтра не будет холодно или завтра не будет дождливо».
Еще один закон де Моргана утверждает, что отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний:
~ (A v B) ↔ (~A & ~B),
неверно, что есть первое или есть второе, если и только если неверно, что есть первое, и неверно, что есть второе. Например: «Неверно, что ученик знает арифметику или знает геометрию, тогда и только тогда, когда он не знает ни арифметики, ни геометрии».
На основе законов де Моргана связку «и» можно определить, используя отрицание, через «или», и наоборот:
- «А и В» означает «неверно, что не – А или не – В»,
- «А или В» означает «неверно, что не – А или не – В».
Например: «Идет дождь и идет снег» означает «Неверно, что нет дождя или нет снега»; «Сегодня холодно или сыро» означает «Неверно, что сегодня не холодно и не сыро».
Закон приведения к абсурду
Редукция к абсурду (приведение к нелепости) – это рассуждение, показывающее ошибочность какого-либо положения путем выведения из него абсурда, т.е. логического противоречия. [3]
Если из высказывания А выводится как высказывание В, так т его отрицание, то верным является отрицание А. например, из высказывания «Треугольник – это окружность» вытекает с одной стороны то, что треугольник имеет углы (быть треугольником значит иметь три угла), с другой, что у него нет углов (поскольку он окружность); следовательно, верным является не исходное высказывание, а его отрицание «Треугольник не является окружностью».
Закон приведения к абсурду представляется формулой:
(A → B) & (A → ~B) → ~A,
если (если А, то В) и (если А, то не – В), то не – А.
«Приведение к нелепости, замечает математик Д. Пойа, имеет некоторое сходство с иронией, любимым приемом сатирика: ирония принимает определенную точку зрения, подчеркивает ее и затем настолько ее утрирует, что, в конце концов, приводит к явному абсурду». [3]
Частный закон приведения к абсурду представляется формулой:
(A → ~А) → ~A,
если (если А, то не – А), то не – А. например, из положения «Всякое правило имеет исключения», которое само является правилом, вытекает высказывание «Есть правила, не имеющие исключений»; значит, последнее высказывание истинно.
Закон косвенного доказательства
«Закон косвенного доказательства позволяет заключить об истинности какого-то высказывания на основании того, что отрицание этого высказывания влечет противоречие». [3] Например: «Если из того, что 17 не является простым числом, вытекает как то, что оно делится на число, отличное от самого себя и единицы, так то, что оно не делится на такое число, то 17 есть простое число».
Символически закон косвенного доказательства записывается так:
(~A → B) & (~A → ~B) → A,
если (если не – А, то В) и (если не – А, то не – В), то А.
Законом косвенного доказательства обычно называется и формула:
(~A → (B & ~B)) → A,
если (если не – А, то В и не – В), то А. Пример: «Если из того, что 10 не является четным числом, вытекает, что оно делится и не делится на 2, то 10 – четное число».
Закон Клавия
Закон Клавия характеризует связь импликации и отрицания: «Если из отрицания некоторого высказывания вытекает само это высказывание, то оно является истинным». [3]
Закон назван именем Клавия – ученого-иезуита, жившего в XVI веке, одного из изобретателей григорианского календаря. Клавий первым обратил внимание на этот закон в своем комментарии к «Геометрии» Евклида. Одну из своих теорем Евклид доказал, выведя из ее допущения, что она является ложной.
Символически закон Клавия представляется формулой:
(~A → A) → A,
если не – А имплицирует А, то верно А.
Например, необходимо доказать утверждение «У трапеции четыре стороны». Отрицание этого утверждения: «Неверно, что у трапеции четыре стороны». Если из этого отрицания удается вывести само утверждение, это будет означать, что оно истинно.
Закон Клавия – один из случаев общей схемы косвенного доказательства: «из отрицания утверждения выводится само это утверждение, оно составляет вместе с отрицанием логическое противоречие; это означает, что отрицание ложно, а верным является само утверждение». [3]
Закон транзитивности
Закон транзитивности в обычном языке можно передать так: «Когда верно, что если первое, то второе, и если второе, то третье, то верно также, что если первое, то третье». [3] Например: «Если дело обстоит так, что с развитием медицины появляется больше возможностей защитить человека от болезней и с увеличением этих возможностей растет средняя продолжительность его жизни, то верно, что с развитием медицины растет средняя продолжительность жизни человека». Иначе говоря, если условием истинности первого является истинность второго и условием истинности второго – истинность третьего, то истинность последнего есть также условие истинности первого.
Символически данный закон представляется формулой:
((A → B) & (B → C)) → (A → C),
если (если А, то В) и (если В, то С), то (если А, то С).
