Преобразование агрегатного индекса в средний индекс

1. Средний взвешенный арифметический индекс строят в том случае, если в исходной формуле агрегатного индекса нет отчетных данных индексируемой величины, но известны индивидуальные индексы.

Предположим, например, что в агрегатном индексе цен Пааше (Ip) не известны цены отчетного периода (), но даны индивидуальные индексы цен по всем видам продукции (ipj). Требуется построить сводный средний индекс цен.

Сводный индекс цен в агрегатной форме (см. формулу 9.12)

Индивидуальный индекс цен (см. формулу 9.2):

(9.21)

Подставляем полученные значения в агрегатный индекс цен Ip и получаем средний взвешенный арифметический индекс цен:

(9.22)

Где в качестве веса выступает объем продаж в отчетном периоде по ценам базисным ().

2. Средний взвешенный гармонический индекс строят в том случае, если в исходной формуле агрегатного индекса нет базисных данных индексируемой величины, но известны индивидуальные индексы.

Вывод среднегармонического взвешенного индекса покажем также на примере индекса цен Пааше.

Сводный индекс цен в агрегатной форме (см. формулу 9.12):

Индивидуальный индекс цен (см. формулу 9.2):

(9.23)

Подставляем полученные значения в исходный агрегатный индекс цен IP и получаем средний взвешенный гармонический индекс цен:

(9.24)

где в качестве веса выступает объем продаж в отчетном периоде (.

Аналогично строятся средние взвешенные арифметические и гармонические индексы для любых других показателей: все зависит от того, какие исходные данные имеются для построения сводного индекса.

Анализ средневзвешенных индексов следует проводить подобно анализу агрегатных индексов.

Сквозная задача

Задание 45. Предположим, что теперь у нас имеются условные данные об объемах продаж ряда фирм в I в квартале исследуемого года, а также об индивидуальных относительных отклонениях количеств проданных этими фирмами товаров во II квартале по сравнению с I кварталом в одном из регионов РФ (см. табл. 9.3).

Таблица 9.3

Товар	Объем продаж в I квартале, млн. руб.	Относительное отклонение физического объема во II квартале по сравнению с I кварталом, %
1	20,010	+8,70
2	21,900	+1,37
3	6,200	+25,00
4	2,799	+33,33
5	2,496	+25,00
6	6,080	-52,63
7	2,600	+25,00
ИТОГО	62, 085	-

Требуется рассчитать сводный индекс физического объема.

Решение.

Используя исходные данные, мы не можем рассчитать агрегатный индекс физического объема (см. формулу 9.8), однако на его базе можно построить и рассчитать средний взвешенный арифметический индекс. С этой целью построим вспомогательную табл. 9.4.

Таблица 9.4 Вспомогательная таблица для расчета среднего взвешенного арифметического индекса физического объема

Товар	Объем продаж, в I квартале, млн. руб.	Относительное отклонение физического объема во II квартале по сравнению с I кварталом, %	Индивидуальный индекс физического объема, коэффициенты	Млн. руб.
1	20,010	+8,70	1,0870	21,7509
2	21,900	+1,37	1,0137	22,2000

Окончание табл. 9.4

Товар	Объем продаж, в I квартале, млн. руб.	Относительное отклонение физического объема во II квартале по сравнению с I кварталом, %	Индивидуальный индекс физического объема, коэффициенты	Млн. руб.
1	20,010	+8,70	1,0870	21,7509
2	21,900	+1,37	1,0137	22,2000

Исходная формула агрегатного индекса физического объема (см. формулу 9.8):

Индивидуальный индекс физического объема (см. формулу 9.1):

(9.25)

Подставляем полученные значения в агрегатный индекс физического объема Iq и получаем средний взвешенный арифметический индекс физического объема:

(9.26)

Где в качестве веса выступает объем продаж в I квартале исследуемого года ().

Подставляем в полученную формулу расчетные данные из табл. 9.4:

Как видим, значение индекса, рассчитанное по формуле (9.26), совпадает со значением индекса, полученным по формуле (9.8) (см. решение задания 44). Выводы – те же, которые были сделаны по Iq в задании 44.

Сквозная задача.

Задание 46. Предположим, что теперь у нас имеются условные данные об объемах продаж ряда фирм во II квартале исследуемого года по ценам I квартала, а также об индивидуальных относительных отклонениях количества проданных этими фирмами товаров во II квартале по сравнению с I кварталом в одном из регионов РФ (см. табл. 9.5).

Таблица 9.5

Товар	Объем продаж во II квартале по ценам I квартала, млн руб.	Относительное отклонение физического объема во II квартале по сравнению с I кварталом, %
1	21,750	+8,70
2	22,200	+1,37
3	7,750	+25,00
4	3,732	+33,33
5	3,120	+25,00
6	2,880	-52,63
7	3,250	+25,00
ИТОГО	64,682	-

Требуется рассчитать сводный индекс физического объема.

Решение.

Используя исходные данные, нельзя рассчитать агрегатный индекс физического объема (см. формулу 9.8), однако на его базе можно построить и рассчитать средний взвешенный гармонический индекс. С этой целью построим вспомогательную табл. 9.6.

Таблица 9.6. Вспомогательная таблица для расчета среднего взвешенного арифметического индекса физического объема

Товар	Объем продаж во II квартале по ценам I квартала, млн. руб.	Относительное отклонение физического объема во II квартале по сравнению с I кварталом, %	Индивидуальный индекс физического объема, коэффициенты	млн. руб.
1	21,750	+8,70	1,0870	20,0092
2	22,200	+1,37	1,0137	21,9000
3	7,750	+25,00	1,2500	6,2000
4	3,732	+33,33	1,3333	2,7991
5	3,120	+25,00	1,2500	2,4960
6	2,880	-52,63	0,4737	6,0798
7	3,250	+25,00	1,2500	2,600
ИТОГО	64,682	-	-	62,0841

Исходная формула агрегатного индекса физического объема (см. формулу 9.8):

Индивидуальный индекс физического объема (см. формулу 9.1):

(9.27)

Подставляем полученные значения в исходный агрегатный индекс физического объема Iq и получаем средний взвешенный гармонический индекс физического объема:

(9.28)

где в качестве веса выступает объем продаж во II квартале исследуемого года по ценам I квартала ().

Подставляем в полученную формулу расчетные данные из табл. 9.6:

Как видим, значение индекса, рассчитанное по формуле (9.28), совпадает со значением индекса, полученным по формуле(9.8) (см. решение задания 44). Выводы – те же, которые были сделаны по Iq в задании 44.

9.4. Индексный метод в факторном анализе средних величин

При изучении динамики качественных показателей (цен, себестоимости, заработной платы и т.д.) рассчитывают индексы средних величин.

Исходная формула индекса средней величины – отношение средней величины в отчетном периоде к средней величины базисного периода:

(9.29)

Воспользуемся формулой расчета средней арифметической взвешенной величины (4.35)

где в качестве веса взята частость (относительная величина структуры, выраженная в коэффициентах).

С учетом указанной формулы исходный индекс (9.29) можно представить следующим образом:

(9.30)

Построенный индекс средней величины (индекс переменного состава) представляет собой агрегатный индекс.

В этом индексе в качестве результативного показателя выступает среднее значение признака (x), на изменение которого влияют изменения двух факторов: изменение значения признака в каждой группе единиц ( и изменение доли каждой группы единиц в общем объеме совокупности (wj).

На базе полученного индекса построим два других индекса, которые покажут изменение результативного показателя под влиянием каждого фактора в отдельности.

В нашем индексном анализе качественным показателем будет являться значение признака в каждой группе единиц (xj), а количественным показателем – доля каждой группы в общем объеме совокупности (wj), поэтому при построении индексов воспользуемся уже известным нам правилом применения весов.

Индекс структурных сдвигов показывает изменение среднего значения ( под влиянием изменения доли каждой группы единиц в общем объеме совокупности (wj):

(9.31)

Индекс фиксированного состава показывает изменение среднего значения (х) под влиянием изменения значений признака у отдельных групп единиц (xj):

(9.32)

Модель взаимосвязи индексов в факторном анализе изменения средних показателей будет иметь следующий вид:

(9.33)

Сквозная задача.

Задание 47. На базе расчетных данных задания 44 сквозной задачи (табл. 9.2) требуется, используя индексный метод, сделать факторный анализ изменения средней цены.

Решение.

1. Построим индекс средней цены (индекс переменного состава):

(9.34)

Рассчитаем полученный индекс:

Таким образом, средние цены на данные товары во II квартале по сравнению с I кварталом возросли в 1,239 раза.

2. На базе исходного индекса средней цены (индекса переменного состава) построим индекс структурных сдвигов:

(9.35)

Рассчитываем полученный индекс:

Таким образом, средние цены на данные товары из-за структурных сдвигов во II квартале по сравнению с I кварталом сократились в 0,9982 раза.

3. На базе исходного индекса средней цены (индекса переменного состава) построим индекс фиксированного состава:

(9.36)

Рассчитаем полученный индекс:

Таким образом, средние цены на данные товары из-за непосредственно роста цен во II квартале по сравнению с I кварталом возросли в 1,1259 раза.

Отметим, что значение индекса фиксированного состава совпадает мо значением индекса цен Пааше (см. решение задания 44), что лишний раз подтверждает правильность расчета индексов.

4. Проверим взаимосвязь индексов: