Задачи для практических занятий

1. В магазине «Все для чая» есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

2. В магазине «Все для чая» есть еще 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить комплект из чашки, блюдца и ложки?

3. Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?

4. Сколькими способами можно заполнить один вариант в «Спорт прогнозе»? (В этой лотерее нужно предсказать итог 13-ти спортив-

ных матчей. Итог каждого матча - победа одной из команд или ни­чья; счет роли не играет).

5. В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами можно это сделать?

6. Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизон­тальными полосами одинаковой ширины, если имеется материя шести различных цветов?

7. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова «ПТИЧКА»?

8. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова «ЭКОНОМИКА»?

9. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова «МАТЕМАТИКА»?

10.В классе, в котором 30 учеников, нужно выбрать трех дежурных сколькими способами можно это сделать?

11.Двое играют в следующую игру. Бросают кость четыре раза. Пер­вый выигрывает, если хоть раз выпадет шестерка, второй в против­ном случае. Для кого вероятность выигрыша больше?

12.В ящике лежат две пары носков. Вы вытаскиваете наугад два нос­ка. Какова вероятность того, что они образуют пару?

13.Рассеянный почтальон случайным образом разносит 4 письма по четырем адресатам. Найдите вероятность того, что к адресату по­падет: 1) ровно одно письмо, 2) ровно два письма, 3) ровно три письма, 4) ровно четыре письма, 5) хотя бы одно письмо?

14.Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 оч­ков, равна 0,1; вероятность выбить 9 очков равна 0,3; вероятность выбить 8 или меньше очков равна 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков.

15.В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартных. Найти веро­ятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется не бо­лее одной нестандартной.

16.Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет в ми­шень, равна р=0,9. Стрелок произвел 3 выстрела. Найти вероят­ность того, что все 3 выстрела дали попадание.

17.Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сначала выбирается одна, затем из оставшихся четырех - вторая цифра. Предполагается, что все 20 возможных исходов равновероятны. Найти вероятность того, что будет выбра­на нечетная цифра: а) в первый раз; б) во второй раз; в) в оба раза.

18.В студии телевидения 3 телевизионные камеры. Для каждой каме­ры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.

19.Три команды А1 А₂, Аз спортивного общества А состязаются соот­ветственно с тремя командами общества В. Вероятности того, что

команды общества А выиграют у команд общества В, таковы: при встрече А1с В1- 0,8; А₂ с В₂ - 0,4; А₃ с В₃ - 0,4. Для победы необ­ходимо выиграть не менее двух матчей из трех. (Ничьи во внима­ние не принимаются). Победа какого из обществ вероятнее?

20.В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятности выполнить квалификационную норму таковы: для лыжника - 0,9, для велосипедиста - 0,8, для бегуна - 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.

21.Из полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую извлеченную наудачу кость можно приставить к первой.

22.Для участия в спортивных студенческих отборочных соревновани­ях выделено из первой группы курса - 4, из второй - 6, из третьей -5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и треть­ей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7; 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования по­пал в сборную. К какой из групп вероятнее всего он принадлежал?

23.Дискретные независимые случайные величины заданы законами распределения:

X 2   4   3           Y  2   1

р 0,1 0,7 0,2        р   0,4 0,6

Найти математическое ожидание произведения ХY двумя способа­ми: составив закон распределения ХY и пользуясь свойством мате­матического ожидания; найти математическое ожидание суммы Х+Y.

Требования к оформлению контрольных работ

1. Работа должна быть оформлена в тонкой тетради или на листах формата А4, которые должны быть обязательно скреплены между собой и пронумерованы.

2. Должен быть оформлен титульный лист, содержащий: название ВУЗа, в котором учитесь, предмет по которому выполнена кон­трольная работа, номер варианта, курс на котором учитесь, фами­лия, имя, отчество преподавателя, с указанием звания и должности.

3. Оформление каждой задачи надо начинать с нового листа с обяза­тельным указанием формулировки.

4. Должна быть приведена формулировка теоремы или формулы, ко­торую Вы используете, с обоснованием, почему именно эта теоре­ма применяется.

5. Оформление задачи завершается выписыванием ответа.

6. В конце работы нужно привести список использованной литерату­ры.

Разбор варианта контрольной работы

Задача №1 составлена на тему «Элементы комбинаторики». За­дача решается непосредственным применением правила произведения или суммы. Важно понять, как именно происходит выбор того или иного объекта, важен ли порядок выбора или нет.

Пример: Игральный кубик бросают трижды. Сколько разных последовательностей цифр можно при этом получить?

Мы три раза подбрасываем кубик и следим, какая цифра выпа­ла. Каждый раз у нас есть шесть вариантов: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. При этом нам важно, какая цифра выпадает в какой последовательности. Так наборы 3, 4, 5 и 4, 3, 5 для нас различны. По правилу произведе­ния имеем 6•6•6 = 216.

Задача №2 на прямое применение определения вероятности со­бытия, как отношения числа благоприятствующих событию исходов к общему числу исходов.

Пример: Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4.

Посчитаем общее количество исходов нашего испытания. На одной из костей может выпасть любое количество очков от 1 до 6 и на второй кости так же шесть вариантов, то есть всего по правилу произ­ведения 6•6 = 36 исходов.

Посчитаем количество благоприятных исходов. Их всего 3: на первой кости 1, а на второй кости 3 очка; наоборот, на первой кости 3, а на второй 1 очко; на обеих костях по два очка. А значит, вероятность выпадения четырех очков равна:

                                    3 1

                                      P= =

                                   36 12

В задачах №3 и №4 важно понять на какие более мелкие собы­тия разбивается данное событие, и как эти события связаны: должно быть одновременное выполнение их (союз «и»), или важно выполне­ние одного из них (союз «или»). После чего, следует применить фор­мулу вероятности суммы или произведения.

Пример: Три команды А1, А2, Аз спортивного общества А со­стязаются соответственно с тремя командами общества В. Веро­ятности того, что команды общества А выиграют у команд обще­ства В, таковы: при встрече А1 с В2 — 0,8; А2 с В2 — 0,4; Аз с Вз — 0,4. Для победы необходимо выиграть не менее двух матчей из трех. (Ни­чьи во внимание не принимаются). Победа какого из обществ вероят­нее?

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, нужно знать какова вероятность победы каждого из обществ. Заметим, что победа одного

из обществ означает поражение для второго, т. е. события: А - побе­дило общество А и В — победило общество В - являются противопо­ложными, а значит сумма их вероятностей равна единице. Нам доста­точно найти вероятность одного из этих событий, пусть А.

Для того, чтобы произошло событие А, общество А должно по­бедить по крайней мере в двух матчах, т. е. в двух или в трех. Пусть событие А1  - общество А1  победило у общества В1; событие А₂ - об­щество А₂ победило у общества В₂; событие А₃ - общество А₃ побе­дило у общества В₃. Тогда событие А можно представить в виде:

А= А1 • А₂• А₃ + А1 • А₂ • А₃ + А1  • А₂ • А₃ + А1• А₂• А₃

События А1 • А₂ • А₃; А1 • А₂ • А₃; А1 • А₂ • А₃; А1 • А₂ • А₃ являются несо­вместными, поэтому вероятность их суммы равна сумме вероятно­стей. А события А1, А₂ и А₃ являются независимыми. Поэтому:

Р(А) = Р(А1) • Р(А₂) • Р(А₃) + Р(А1) • Р(А₂) • Р(А3) + Р(А₁) • Р(А₂) • Р(А₃)+

+ Р(А1) • Р(А₂) • Р(А₃) = 0,8 • 0,4 • 0,4 + 0,8 • 0,4 • (1 - 0,4) + 0,8 • (1 - 0,4) • 0,4+

+ (1-0,8) • 0,4 • 0,4 = 0,544

Тогда Р(В) = 1- Р(А) = 1-0,544 = 0,456. То есть победа общества А

более вероятна.

Задача №5 на применение формулы полной вероятности. Важ­но понять вероятность какого события надо найти, и от каких событий вероятность искомого события зависит.

Пример: В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке 10 радиоламп, из 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартная.

Нам требуется найти вероятность события А - лампа, наудачу извлеченная из первой коробки стандартная. Это событие зависит от того, какую лампу - стандартную или нестандартную - мы переложи­ли из второй коробки в первую. Пусть событие В1 - из второй коробки

в первую переложили стандартную деталь; В₂ - из второй коробки в первую переложили нестандартную деталь. События В1 и В₂ несо­вместны и образуют полную группу событий, то есть мы находимся в условиях формулы полной вероятности.

                                                                   9  19   1   18 189

Р(А) = Р(В₁)-Р_В1(А) + Р(В₂)•Р_В2(А) =    ­ •­­       + ­ • ­    = ­­      =0,9

                                                      10   21  10   21  210

Задача №6 на тему «Математическое ожидание дискретной случайной величины».

Пример: 2 стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятности попадания для первого стрелка при одном выстреле —

0,5, для второго — 0,4. Дискретная случайная величина X — число по­паданий в мишень. Найти закон распределения и математическое ожидание величины X.

Наша дискретная величина может принимать 3 значения: 0 -никто не попал, 1 - один попал, а второй нет, 2 - оба стрелка попали. Составим закон распределения:

X	0	1	2
P	(1-0,5)•(1-0,4)=0,3	1-0,3-0,2=0,5	0,4•0,5=0,2

 

Математическое ожидание равно:

М(Х) = 0 • 0,3 +1 • 0,5 + 1 • 0,5+2 • 0,2 = 0,9.

Задача №7 на тему «Функция распределения случайной вели­чины».

Пример: Дискретная случайная величина задана таблицей рас­пределения:

X	1	4	8
P	0,3	0,1	0,6

Найти функцию распределения и начертить ее график.

Если x ≤1, то F(х)= 0 (четвертое свойство). Если 1 ≤ х ≤ 4, то

F(х) = 0,3. Действительно X может принять значение 1 с вероятно­стью 0,3. Если 4 < х ≤ 8, то F (х) = 0,4, как сумма 0,3+0,1. Если х > 8,

то F (х) = 1. Так как событие X ≤ 8 является достоверным.

Итак функция распределения аналитически может быть записа­на как:

0, при   х≤1

F(х)=

0,3, при 1<х≤4       

1

0,4,при 4<х≤8 1 ,при   х >8

	0		1			4				8			X

Варианты контрольной работы

Контрольная работа составлена в пяти вариантах, выбор ко­торого зависит от начальной буквы фамилии студента:

 

Начальная буква фамилии	Номер Варианта
А, Б, В, Г, Д, Е	1
Ж, 3, И, К, Л	2
М, Н, О, П, Р	3
С, Т, У, Ф, X, Ц	4
Ч, Ш, Щ, Э, Ю, Я	5

ВАРИАНТ№1

 

1. Каждую клетку таблицы 3 на 3 можно покрасить в черный или бе­лый цвет. Сколько существует различных покрасок этой таблицы?

2. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти веро­ятность того, что на вынутых по одному и расположенных в «одну линию» кубиков можно будет прочесть слово «спорт».

3. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных двух деталей есть хотя бы одна стан­дартная.

4. Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей?

5. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором - 30 деталей, из них 24 стандартных; в третьем - 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извле­ченная деталь из наудачу взятого ящика - стандартная.

6. Я доезжаю на работу обычно или автобусом за 20 минут, либо троллейбусом за пол часа, причем автобусом езжу втрое чаще, чем троллейбусом. В виде исключения я раз в десять дней доезжаю на такси за 10 минут и раз в десять дней хожу пешком за 1 час. Сколь­ко времени в день я трачу на дорогу?

7. Дискретная случайная величина X задана таблицей распределения:

X	-1	0	1
P	0,25	0,5	0,25

 

8.  Найдите функцию распределения F(х) и используя ее, найдите ве­роятность события х ≤ 0. Постройте график функции F (х).

ВАРИАНТ №2

1.   Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизон­тальными полосами одинаковой ширины, если имеется материя шести различных цветов?

2. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из сле­дующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех, вынутых по одной и рас­положенных в «одну линию» карточках можно будет прочесть сло­во «трос».

3. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10 000 билетов разыгрыва­ется 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероят­ность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для вла­дельца одного лотерейного билета?

4. Монета бросается до тех пор, пока 2 раза подряд она не выпадет одной и той же стороной. Найти вероятность того, что опыт окон­чится до шестого бросания.

5. В двух ящиках лежат радиолампы. В первом ящике имеется 12 ламп, из них одна нестандартная; во втором 10 ламп, из них 1 не­стандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.

6. Найти математическое ожидание произведения числа очков, кото­рые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

7. Дискретная случайная величина X задана таблицей распределения:

X	-1	0	2
P	0,3	0,2	0,5

 

Найдите функцию распределения F(х) и используя ее, найдите ве­роятность события х ≤ 1. Постройте график функции F(х).

ВАРИАНТ №З

1. Шесть студентов берут экзаменационные билеты, пронумерован­ные числами от 1 до 30. Сколько имеется возможностей?

2. Куб все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков оди­накового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь од­ну окрашенную грань.

3. Брошена монета и игральная кость. Найти вероятность, что поя­вился герб или 6 очков.

4. Предприятие изготовляет 95% изделий стандартных, причем из них 86% - первого сорта. Найти вероятность того, что взятое нау-

дачу изделие, изготовленное на этом предприятии, окажется перво­го сорта.

5. В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый нау­дачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы.

6. Каждым ходом игрок бросает игральную кость и получает столько очков, сколько выпадет. К тому же, если выпадет шестерка, он бросает кость еще раз за тот же ход и получает дополнительно вы­павшее число очков. Сколько в среднем очков игрок получает за ход?

7. Дискретная случайная величина X задана таблицей распределения:

X	0	2	4
P	0,15	0,6	0,25

 

Найдите функцию распределения F (х) и используя ее, найдите ве­роятность события х ≤ 2. Постройте график функции F (х).

ВАРИЛНТ №4

1. Стадион «Динамо» имеет 4 выхода. Сколькими способами можно войти через один вход и выйти через другой?

2. Куб все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков оди­накового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь две окрашенные грани.

3. Брошена монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий: «появился герб», «появилось 6 очков».

4. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в де­сятку, равна 0,6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, что­бы с вероятностью не менее 0,8 он попал в десятку хотя бы один раз?

5. Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных заводом №1, и 2 коробки деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность то­го, что деталь, завода №1 стандартная, равна 0,8, а завода №2 - 0,9. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

6. Дискретные независимые случайные величины заданы законами распределения:

X  1   2            Y  0,5 1

р   0,2 0,8        р   0,3 0,7

Найти математическое ожидание произведения ХУ двумя спосо­бами: составив закон распределения ХУ и пользуясь свойством математического ожидания.

7. Дискретная случайная величина X задана таблицей распределения:

 

X	-2	0	2
р	0,5	0,15	0,35

Найдите функцию распределения F (х) и используя ее, найдите ве­роятность события х ≤ 0. Постройте график функции F (х).

ВАРИАНТ №5

1

Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок одинаковой стоимости. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма?

Какова вероятность, что в написанном на удачу трехзначном числе 2 цифры одинаковые, а третья отличается от них? В ящике 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Сборщик нау­дачу достает 4 детали. Найти вероятность того, что все взятые де­тали окрашены.

4. Студент успел подготовить к экзаменам 20 вопросов из 25. Какова вероятность того, что из 3 наудачу выбранных вопросов студент знает не менее 2?

5. В группе из 20 стрелков имеется 4 отличных, 10 хороших и 6 по­средственных стрелков. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для отличного стрелка равна 0,9, для хорошего - 0,7, для посредственного - 0,5. Найти вероятность того, что наудачу вы­бранный стрелок попадет в цель.

6. Дискретная случайная величина имеет закон распределения:

Xi	0	3	4	5	8
Pi	0,2	0,1	0,3	P4	0,15

 

 

Чему равна вероятность Р4? Найти математическое ожидание дис­кретной случайной величины.

7. Дискретная случайная величина X задана таблицей распределения:

x	-3	-2	1
p	0,15	0,5	0,35

 

Найдите функцию распределения F (х) и используя ее, найдите ве­роятность события х ≤ 0. Постройте график функции F (х).