Погрешности изображений

Как отмечалось ранее, для получения правильного изображения предмета, необходимо, чтобы каждая точка предмета отображалась в виде точки, и при этом сохранялся масштаб изображения по всему полю изображения. Такое идеальное изображение формируется параксиальными монохроматическими лучами. Однако на практике для увеличения поля зрения и светосилы прибора приходится пользоваться широкими, наклонными световыми пучками, составляющими большие углы с оптической осью. По этой причине в реальных оптических системах нарушается гомоцентричность вышедших из них световых пучков, что приводит к снижению качества изображения. Изображение точки получается в виде размытого кружка, пятна неправильной формы или отрезка. Погрешности изображений, связанные с нарушением гомоцентричности преломленных световых пучков, называют аберрациями оптических систем. _. Aberratio в переводе с латинского означает "уклонение". Аберрации оптических систем обычно делят на монохроматические и хроматические. Их называют геометрическими аберрациями оптической системы. К монохроматическим аберрациям относятся: сферическая аберрация, кома, астигматизм, кривизна поверхности изображения, дисторсия. Эти аберрации могут иметь место и при использовании монохроматического излучения, т.е. лучей света строго определенной длины волны.

Хроматические аберрации обусловлены использованием немонохроматического, например, белого света. К хроматическимаберрациям относятся продольная хроматическая аберрация (хроматизм положения) и хроматическая аберрация увеличения (хроматизм увеличения).

Аберрации оптической системы полностью практически не устранимы, т. е. всякая реальная оптическая система имеет остаточные аберрации. Для практики важно уметь рассчитывать аберрации и по мере необходимости уменьшать их влияние на качество изображения.

Сферическая аберрация обусловлена тем, что оптическая сила разных зон линзы, не относящихся к области параксиальных лучей, не одинакова. Вследствие этого краевые лучи, составляющие угол и с оптической осью (рис.1), преломятся линзой сильнее, чем центральные лучи. Для собирающей линзы, чем больше угол u, тем ближе к линзе преломленный луч пересекает оптическую ось. Наличие сферической аберрации приводит к тому, что точка объекта

Рис.18

изображается в виде кружка рассеяния. Диаметр этого кружка зависит от установки плоскости изображения и является мерой поперечной сферической аберрации. Для современной астрофизики, поскольку в ней широко

 

	Рис. 1

	Рис. 1

 

используется фотографический метод наблюдения, большое значение имеют поперечные аберрации. Поперечные аберрации у хорошего астрономического объектива не превышают (10-15) мкм.

Продольной сферической аберрацией для данного луча называют расстояние, отсчитанное от плоскости Гаусса до точки пересечения рассматриваемого луча с оптической осью. Если точка S’ соответствует пересечению оптической оси параксиальными лучами, т. е. лежит в плоскости изображения Гаусса и является идеальным изображением точки объекта S, то разность отрезков OS’’- OS’= DS определяет величину продольной сферической аберрации краевых лучей. Продольная и поперечная сферические аберрации не являются независимыми друг от друга и представляют два способа выражения одной и той же аберрации. Величина сферической аберрации зависит от диаметра линзы, показателя преломления материала, соотношения радиусов кривизны преломляющих поверхностей линзы, а также от размеров и положения предмета. Одиночная сферическая двояковыпуклая линза имеет большую сферическую аберрацию. Ее можно уменьшить за счет подбора радиусов кривизны преломляющих поверхностей. В частности, для уменьшения сферической аберрации одиночной линзы ее следует обращать к экрану преломляющей поверхностью с большим радиусом кривизны. Использование оптической системы из двух плосковыпуклых линз, обращенных плоскими поверхностями наружу, заметно уменьшает сферическую аберрацию и улучшает качество изображения.

Как видно из рис. 1, для собирающей линзы продольная сферическая аберрация отрицательна. У рассеивающих линз, наоборот, продольная сферическая аберрация имеет положительный знак. Следовательно, комбинация собирающих и рассеивающих линз также может привести к уменьшению сферической аберрации. Следует заметить, что полностью устранить сферическую аберрацию нельзя. Ее можно устранить только для некоторых узких концентрических зон линзы, например, для центральной и краевой. В этом случае параллельные лучи, преломленные только этими зонами, сводятся в одну точку, остальные лучи несколько отклоняются от нее. Остаточная сферическая аберрация оптической системы обычно представляется либо в виде таблиц, либо в виде графиков -D S=f(h), иллюстрирующих зависимость сферической аберрации от положения зоны, где h - координата зоны, отсчитанная от оптической оси (рис. 1). Сферическая аберрация в отличие от других монохроматических аберраций имеет место для всех точек поля зрения оптической системы (для точек, лежащих на оптической оси и вне оси). Причем, даже для внеосевых точек при наличии сферической аберрации не нарушается симметрия вышедшего из системы светового пучка относительно его главного луча.

Таким образом, сферическую аберрацию можно определить как нарушение гомоцентричности световых пучков, вышедших из оптической системы, без нарушения симметрии этих пучков.

У параболических зеркал сферическая аберрация отсутствует. Малую сферическую аберрацию имеют кольцевые линзы Френеля: призматические сечения колец в линзе Френеля таковы, что лучи света от точечного источника, помещенного в фокусе линзы Френеля, после преломления в кольцах выходят практически параллельным пучком.

Кома обусловленаиспользованием широких световых пучков, посылаемых вне осевыми точками предмета, что приводит к нарушению симметрии вышедшего светового пучка относительно луча, проходящего через центр входного зрачка. Луч, проходящий через центр входного зрачка, называется

Рис.2

главным лучом. Как видно из рис.2, нарушение симметрии обусловлено разными условиями преломления лучей входящего в систему пучка, симметричных относительно главного луча. Если бы точка пересечения двух крайних лучей лежала бы на главном луче, пятно рассеяния было бы круглым, строение пучка относительно главного луча оставалось бы симметричным, и кома отсутствовала бы. При наличии комы точка предмета изображается ввиде яркого пятна с постоянно расширяющимся хвостом, напоминающим изображение кометы. Этому сходству с кометой и обязано название аберрации. Для одиночной, тонкой линзы или зеркала кома зависит от угла наклона w главного луча к оптической оси, формы линзы и места зрачка входа. Поперечный радиус пятна рассеяния зависит от относительного отверстия A=D/f линзы или зеркалаи равен r_к = kA²w. Если, наряду с комой, имеют место другие аберрации, то пятно рассеяния может принимать и другую форму. Устранить кому можно только для элементарной площадки изображения вблизи оптической оси в случае, если для точки предмета, расположенной на оптической оси ликвидирована сферическая аберрация и выполняется условие синусов Аббе:

n’ y’ sinu’ = n y sinu   (1)

 

При указанных условиях получается безаберрационное изображение малого отрезка y. Как правило, эти условия выполняются во всех объективах, особенно в объективах микроскопов. Сопряженные точки на оптической оси, для которых устранена сферическая аберрация и выполняется условие синусов Аббе, называются апланатическими, а соответствующие оптические системы апланатами.  В оптических системах условие синусов Аббе можно выполнить только для определенных положений предмета и его изображения, на которые система рассчитывается при изготовлении. Так, например, у стеклянного шара радиусом R апланатические точки находятся на расстоянии nR и R/n от его центра. Это свойство шара используется в иммерсионных объективах микроскопов, когда между покровным стеклом и передней линзой объектива вводится слой иммерсионной жидкости с таким же, как у стекла показателем преломления. Передняя линза имеет форму полушара, плоской стороной обращенного к предмету, который располагается на расстоянии R/n от геометрического центра полушара.

Астигматизм и кривизна поля изображения сказываются на качестве изображения вне осевых точек объекта при использовании узких световых

пучков. Астигматизм обусловлен нарушением симметрии структуры выходящего пучка лучей из-за того, что условия преломления узких наклон-

ных пучков в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, меридиональной (m-m) и сагиттальной (s-s), оказываются различными (рис.3). Так как главный

 

	Рис. 3

 

 

луч узкого наклонного пучка в общем случае не проходит через центр кривизны поверхности линзы, элемент поверхности линзы для такого пучка лучей имеет разную оптическую силу в направлениях m-m и s-s. Это приводит к деформации волновой поверхности светового пучка, исходящего из точки В, его волновая поверхность приобретает двоякую кривизну (становится асферической). Соответственно, нарушается гомоцентризм исходного светового пучка. При этом, как видно из рис.3, изображение точки получается в виде двух взаимно перпендикулярных отрезков, B₁В₂ и D₁D₂, расположенных в разных плоскостях.

	Рис. 4

	Рис. 3

 

На рис.4 изображен элемент волновой поверхности двоякой кривизны, соответствующий преломленному узкому наклонному пучку. P’B’ - главный луч преломленного пучка. Вследствие двоякой кривизны этой поверхности лучи, исходящие из нормального сечения e P’F, соберутся в центре кривизны B’_m, на расстоянии r_m. Лучи, исходящие из нормального сечения LP'M, соберутся в точке B’_s  на расстоянии r_s. Лучи, исходящие из точек сечений, параллельных e P’F, пересекутся в пределах горизонтального отрезка B₁ B₂. Лучи, исходящие из точек сечений, параллельных LP'M, пересекутся в пределах вертикального отрезка D₁D₂

Явление, вследствие которого точка объекта, не лежащая на оптической оси, изображается в виде двух взаимно перпендикулярных отрезков, расположенных в разных плоскостях, называется астигматизмом, а световой пучок, дающий такое изображение - астигматическим. Сами отрезки называются фокалями астигматических изображений. Расстояние между отрезками B₁ B₂  и D₁D₂ , отсчитанное по главному лучу, является мерой астигматизма и называется астигматической разностью. Величина астигматической разности зависит от наклона светового пучка w, кривизны поверхностей линзы и в первом приближении пропорциональна Aw². При перемещении плоскости изображения из положения B’_s в направлении к B’_m, изображение точки будет меняться, приобретая вид эллипса с большой вертикальной осью, затем правильного кружка, эллипса с большой горизонтальной осью, горизонтальной линии. Если предметом является прямой отрезок АВ, расположенный в меридиональной плоскости, тогда меридиональные пучки изобразят каждую точку отрезка в виде горизонтальных элементарных отрезков, длина которых увеличивается с удалением точки от оси (рис.5). Сагиттальные пучки каждую точку отрезка изобразят в виде элементарных вертикальных отрезков, лежащих в меридиональной плоскости. Таким образом, в плоскости пересечения сагиттальных пучков получится резкое изображение исходного отрезка, в плоскости пересечения меридиональных лучей - размытое изображение. Обратная картина получается, если предметом служит не вертикальный, а горизонтальный отрезок АВ. Из рассмотренных примеров следует, что если система имеет астигматизм, то она не может дать в одной плоскости резкого изображения горизонтальных и вертикальных штрихов сетки. Астигматизм выражается численно или графически путем указания расстояний между поверхностью Гаусса и меридиональной (m) и сагиттальной (s) кривыми в зависимости от угла w. Астигматизм устраняется путем специального подбора конструктивных элементов оптической системы, использованием асферических преломляющих поверхностей, в частности цилиндрических линз.

	Рис. 5

Причины, порождающие астигматизм системы, могут привести к кривизне поверхности изображения, которая выражается в том, что поверхность наилучшего изображения плоского предмета становится кривой. В этом можно убедиться: если изменять угол w, то геометрическим местом фокусов меридиональных и сагиттальных лучей будут две поверхности, уклоняющиеся от плоскости Гаусса (Рис.5). Поверхность, проходящая посредине между указанными поверхностями, называется поверхностью поля или кружка наименьшего рассеяния.

Наличие кривизны у этой поверхности рассматривается как особая аберрация- кривизна поверхности изображения. Астигматизм и кривизна поверхности изображения являются независящими друг от друга погрешностями. Для устранения астигматизма необходимо добиться совпадения меридиональной (m) и сагиттальной (s) кривых (рис.5). Общая кривая, полученная в результате совпадения кривых m и s, может все же уклоняться от плоскости Гаусса, т. е. кривизна поля изображения может остаться. В этом случае изображение можно улучшить, если пластинку (или пленку) изогнуть по заранее рассчитанной поверхности.

Оптические системы, не имеющие астигматизма и кривизны поверхности изображение, называются анастигматами. Современные фотографические анастигматы дают удовлетворительное поле изображения при w свыше 50° при больших относительных отверстиях.

Дисторсия: использование наклонных пучков, составляющих большие углы с оптической осью, приводит к еще одному виду искажения изображения - дисторсии.

	Рис. 6
		Рис. 6

а) правильное изображение сетки; б) подушкообразная дисторсия;

в) бочкообразная дисторсия.

 

Дисторсия заключается в том, что при больших углах наклона вследствие зависимости коэффициента линейного увеличения от величины угла наклона пучка, происходит деформация изображения. Различают два вида дисторсии: бочкообразную и подушкообразную (рис. 6). Дисторсия зависит от угла наклона световых пучков w (~w³), положения предмета относительно линзы и от положения входного зрачка.

Система с исправленной дисторсией называется ортоскопической. Устранение дисторсии особенно важно для объективов, используемых при картографических съемках. У параболического зеркала дисторсия, также как и сферическая аберрация, отсутствует.

Хроматическая аберрация обусловлена дисперсией света в веществе, зависимостью показателя преломления от длины волны, и может иметь место при использовании немонохроматического излучения. Эта аберрация выражается в том, что при любом положении экрана точка изображается в

Рис. 7

виде кружка рассеяния, состоящего из цветных колец (рис.7). В точке S’₁ пересекутся лучи, которым соответствует более короткая длина волны (l₁), в точке S’₂ –

 

длинноволновые лучи (l₂). Другие длины волн дадут изображение в промежутке S’₁ S’₂. Мерой хроматической аберрации положения служит разность . Обычно хроматическую аберрацию исследуют по определенным спектральным линиям излучения небесных светил или земных источников света. Для количественной оценки хроматической аберрации положения берут условно две определенные длины волны:  (красная линия водорода, обозначается буквой С) и (F -зеленая линия водорода). Хроматическая аберрация положения зависит от параметров линзы: относительной дисперсии стекла линзы ,где n_D, n_C и n_F -показатели преломления стекла для D -желтой линии натрия (l_D =579 ммк), С -красной и F -зеленой линии водорода; относительного отверстия линзы (~ A), положения объекта. Хроматизм собирающих и рассеивающих линз имеет противоположные знаки. Поэтому комбинацией собирающих и рассеивающих линз из стекла с разными относительными дисперсиями можно исправить хроматическую аберрацию. Для примера рассмотрим систему из двух тонких линз, сложенных вместе, находящихся в воздухе. Оптическая сила такой системы определяется выражением (2):

. (2)

Откуда                                  (3)

Для тонкой линзы         , следовательно , и                                         , (4)

где  - относительная дисперсия стекла линзы. Система линз ахроматизирована, если фокусное расстояние не зависит от длины волны . В соответствии с формулой (3) для двух линз, сложенных вместе, условие ахроматизации запишется в виде:

(5)

Из формул (2) и (5) следует, что для ахроматизации системы из двух тонких линз, сложенных вместе, фокусные расстояния этих линз должны удовлетворять условиям (6)

(6)

Из (5) видно, что и всегда противоположны по знаку. Уже комбинация из двух линз, одной положительной из крона (D₁»1/60), а другой отрицательной из флинта (D₂»1/30), позволяет уменьшить хроматическую аберрацию положения в 15-16 раз. Однако устранение хроматической аберрации не может быть выполнено для всех длин волн одновременно из-за неравенства частных дисперсий у разных стекол. Обычно это делают для двух, иногда для трех длин волн. Системы, у которых совмещены фокусы для двух спектральных линий, называются ахроматами, для трех – апохроматами.

Использование оптической системы из двух плоско – выпуклых линз с одинаковыми фокусными расстояниями f, обращенных выпуклыми сторонами одна к другой и расположенных друг от друга на расстоянии, равном f, обеспечивает ахроматизацию фокусного расстояния всей системы. Заметим, что ахроматизация фокусных расстояний не означает ахроматизацию положения фокальных плоскостей и, соответственно, ахроматизацию главных плоскостей.

V. Задания и указания к их выполнению

Задание 1*. Исследовать продольную сферическую аберрацию собирающей линзы. Для этого установите на оптической скамье экран, проверьте центровку источника света, карандашом отметьте на экране положение центра изображения. Установите на оптической скамье две собирающие линзы из школьного набора так, чтобы центр изображения на экране не сместился. Затем снимите с оптической скамьи вместе с рейтером вторую линзу, за осветителем поместите миру, закрепленную в одной оправе вместе с матовым стеклом. С помощью зрительной трубы, настроенной на бесконечность, изменяя расстояние между мирой и линзой, получите четкое изображение

	Рис. 8

 

миры в зрительной трубе, установленной в конце оптической скамьи. Таким образом, мира будет совмещена с передней фокальной плоскостью первой линзы. Затем снимите с оптической скамьи зрительную трубу, за первой линзой поместите вторую исследуемую линзу (рис. 8), а за ней на оптической скамье ближе к краю скамьи установите микроскоп. Установите нониус шкалы микроскопа в конце шкалы. Перемещая исследуемую линзу по оптической скамье, получите изображение миры в микроскопе. Закрепите на оптической скамье рейтеры исследуемой линзы и микроскопа. Наденьте на исследуемую линзу первую диафрагму, открывающую центральную зону линзы. В окно источника света вставьте фильтр (красное стекло) и перемещением с помощью винтовой подачи тубуса микроскопа добейтесь четкого изображения штрихов миры в микроскопе. Запишите показания шкалы, определяющей положение тубуса микроскопа. Замените первую диафрагму второй диафрагмой, и опять с помощью винтовой подачи тубуса микроскопа добейтесь четкого изображения штрихов в микроскопе. Запишите показания шкалы, определяющей положение тубуса микроскопа при использовании второй диафрагмы. Аналогичный эксперимент повторите с остальными диафрагмами. Результаты измерений внесите в таблицу и по ним постройте график зависимости продольной сферической аберрации от высоты зоны линзы.

Задание 2*. Исследовать хроматическую аберрацию конденсорной линзы. В качестве источника света используйте монохроматор МУМ. Предварительно по прилагаемой к прибору инструкции познакомьтесь с устройством и принципом действия монохроматора. Направьте свет от источника излучения, который включает в себя галогеновую лампу и конденсор, во входное отверстие монохроматора. Установите на оптической скамье за выходным отверстием монохроматора объект в виде сетки, за объектом исследуемую линзу и далее экран. Закрепите на линзе диафрагму, вырезающую параксиальные лучи. Получите на экране четкое изображение сетки при использовании освещения с длиной волны l =656 нм, соответствующей красной спектральной линии атома водорода. Измерьте отрезки a и a’, определяющие положение объекта и его изображения относительно линзы. По формуле отрезков определите фокусное расстояние линзы для длины волны l= 656 нм. Получите на экране четкое изображение сетки при использовании освещения с длиной волны l =486 нм, соответствующей зеленой спектральной линии атома водорода. Измерьте отрезки a и a’, определяющие положение объекта и его изображения относительно линзы. По формуле отрезков определите фокусное расстояние линзы для длины волны l= 486 нм. Из полученных результатов найдите величину хроматической аберрации положения . Результаты прямых и косвенных измерений занесите в таблицу.

Задание 3*. Исследуйте зависимость астигматической разности от угла поворота линзы относительно вертикальной оси. В качестве объекта можно использовать щель, поворачивающуюся вокруг горизонтальной оси, сетку или стеклянную пластинку с нанесенными на нее окружностями и радиальными линиями. За объектом установите на столике, снабженным угловой шкалой, исследуемую линзу. Поворачивая линзу вокруг вертикальной оси, выполните через каждые  измерения астигматической разности. Для этого, перемещая экран, получите наиболее четкое изображение вертикальных (или радиальных) линий, затем горизонтальных линий (или окружностей). Измерьте расстояние между соответствующими положениями экрана для всех углов поворота линзы. Результаты измерений занесите в таблицу. Постройте график зависимости астигматической разности  от угла поворота линзы.

Задание 4*.

а). Для исследования явления дисторсии используйте методическое пособие РМС1, часть 2, стр 10. Зарисуйте распределение световых пятен, образуемых на экране каждой линзой по отдельности и затем обеими линзами вместе. На основе сделанных зарисовок определите характер дисторсии.

б). Подготовьте на школьной оптической скамье демонстрацию подушкообразной и бочкообразной дисторсии. Для демонстрации подушкообразной дисторсии за проекционным фонарем (кино-лампой без конденсора) на оптическую скамью установите объект в виде миллиметровой сетки, нанесенной на стекло. За сеткой установите одну конденсорную линзу, обратив ее выпуклой стороной к сетке. Для демонстрации бочкообразной дисторсии используйте проекционный фонарь с конденсором. За сеткой установите диафрагму диаметром около 10 мм, а за диафрагмой поместите собирающую линзу из школьного набора. Покажите демонстрацию преподавателю. В рабочей тетради нарисуйте оптическую схему обеих установок. Объясните изменение вида дисторсии.

VI. Для получения зачета по выполненной работе необходимо:

1. Уметь измерять: продольную сферическую аберрацию, хроматическую аберрацию положения, астигматическую разность.

2. Уметь демонстрировать дисторсию изображения.

3. Представить отчет о выполненной работе.

4. Уметь отвечать на вопросы:

В чем проявляется сферическая аберрация?

Почему возникает сферическая аберрация?

Что используется в качестве количественной меры продольной и поперечной сферической аберрации?

Как можно уменьшить сферическую аберрацию?

Можно ли полностью устранить сферическую аберрацию?

В чем проявляется хроматическая аберрация?

Почему возникает хроматическая аберрация?

Что используется в качестве количественной меры хроматической аберрации положения?

Как можно уменьшить хроматизм положения оптической системы?

Можно ли полностью устранить хроматическую аберрацию?

Что называют ахроматами, апохроматами?

В чем проявляется астигматизм оптической системы?

При каких условиях возникает астигматизм?

Чем обусловлен астигматизм глаз?

Что используется в качестве количественной меры астигматизма?

Как можно устранить астигматизм оптической системы?

Что называют анастигматами?

В чем проявляется кривизна поверхности изображения?

Как можно избавиться от кривизны поверхности изображения?

Какую аберрацию называют комой?

При каких условиях изображение может быть испорчено комой?

Что используется в качестве количественной меры комы?

Как можно устранить кому?

Какие точки оптической системы называют апланатическими точками?

Какие оптические системы называют апланатами?

В чем проявляется дисторсия оптической системы?

Почему возникает дисторсия?

Какую дисторсию называют подушкообразной, бочкообразной?

Какую оптическую систему называют ортоскопической?

 

Работа 4

Оптические системы

I. Цель работы:

Научиться теоретически рассчитывать параметры оптических систем, находить их опытным путем, рассчитывать положение и строить изображения в оптической системе.

 

II. Вопросы, знание которых обязательно для выполнения работы.

1. Центрированные оптические системы.

2. Согласование оптической системы.

3. Кардинальные точки и плоскости оптических систем.

4. Применение матричных обозначений для описания распространения светового луча в оптической системе. Преломляющая матрица поверхности, передаточная матрица.

5. Матрица оптической системы.

6. Постоянные Гаусса, их физический смысл.

7. Использование ЭВМ для расчета параметров оптических систем матричным методом.

8. Геометрические способы определения положения главных плоскостей и фокусов в оптических системах.

9. Оптическая сила системы из двух тонких линз.

10.  Построение изображений в системе, состоящей из двух тонких линз.

11.  Экспериментальные методы определения положений фокусов, главных плоскостей и фокусных расстояний оптической системы.

III. Список литературы

Основной

1. Матвеев А.Н. Оптика.- М. 1985, §§ 22, 23.

2. Бутиков Е.И. Оптика.- М.2003, гл. 7, 7.1 – 7.6..

Дополнительный

1. Фриш С.Э., Тиморева А.В. Курс общей физики.- М., 1957, т. 3, гл. 28, §§ 319, 320, 323..

IV. Сведения из теории