2020-04-07
469
На рис.5 приведена заданная расчетная схема фермы. На этом примере требуется определить усилия в стержнях фермы методом конечных элементов.
Рис.5. Заданная расчетная схема фермы
1. Разработка схемы дискретизации.
Рис.6. Схема дискретизации
Разработка схемы дискретизации включает в себя следующие действия:
1.1. Обозначение ГСК - глобальной системы координат XYZ. Начало координат находится в самой нижней и самой левой точке фермы. Ось X направлена вправо, Y - вверх, Z - смотрит на нас.
1.2. Нумерация узлов фермы (рис. 6). Обычно слева направо, снизу вверх. В фермах с большим количеством узлов надо стремиться к тому, чтобы разность между номерами узлов одного конечного элемента была минимальной.
1.3. Нумерация конечных элементов соответствует нумерации узлов фермы. Первым нумеруют КЭ, которые берут свое начало в точке 1. Первый элемент 1-2, второй - 1-3. Третий элемент 2-3.
1.4. Обозначение локальной системы координат для каждого КЭ - xyz. Начало координат находится в начальном узле КЭ. Ось x направлена вдоль КЭ, y - против часовой стрелки под углом 90° к оси x, z - смотрит на нас.
|
|
|
1.5. Обозначение направляющих углов φ для каждого КЭ. Этот угол определяется от оси X ГСК против часовой стрелки до совмещения с осью x ЛСК каждого КЭ (рис. 6).
2. Обработка узлов дискретизации в глобальной системе координат.
Таблица 1
Координаты узлов дискретизации
| № узла | 1 | 2 | 3 |
| х, а | 0 | 4 | 4 |
| у, а | 0 | 0 | 3 |
Определение вспомогательных величин проводят по формулам аналитической геометрии:
i - номер начального узла КЭ; j - номер конечного узла КЭ; 
;
; 
; 
.
;
; 
.
;
; 
.
;
; 
.
Вычисления заносят в таблицу 2.
Таблица 2
Обработка узлов дискретизации
| № КЭ | i | j | lk, a | cos jk | sin jk |
| 1 | 1 | 2 | 4 | 1 | 0 |
| 2 | 1 | 3 | 5 | 0,8 | 0,6 |
| 3 | 2 | 3 | 3 | 0 | 1 |
Матрицы преобразования для стержневого конечного элемента имеют вид:
.
Следовательно, для поставленной задачи, пользуясь данными таблицы 2, имеем:
; 
; 
.
3. Формирование матриц жесткости в глобальной системе координат.
В локальной системе координат матрица жесткости отдельного стержневого КЭ имеет вид:
,
где EF - жесткость конечного элемента на растяжение-сжатие (принимаем одинаковую для всех элементов), тогда для каждого КЭ, подставляя данные из таблицы 2, получим:
; 
; 
.
Матрицы жесткости из локальной системы координат преобразовываются в глобальную систему координат по формуле:
; 
.
Формирование матрицы жесткости для ансамбля конечных элементов в ГСК.
Обозначим номера перемещений узлов фермы в ГСК. Для этого в каждом узле фермы обозначим по две степени свободы - горизонтальную и вертикальную. Пока значения этих перемещений неизвестны, они принимаются положительными, то есть, направлены вдоль положительных полуосей ГСК. Так как на ферму наложены внешние связи, прикрепляющие ее к плоскости, то некоторые из этих перемещений отсутствуют. В точке 1 запрещены оба перемещения - горизонтальное и вертикальное, а в точке 2 - только вертикальное. Таким образом, получаем следующие перемещения фермы в ГСК: первое - горизонтальное в точке 2, второе - горизонтальное в точке 3 и третье - вертикальное в точке 3. Следует заметить, что в одной точке сначала нумеруется горизонтальное, а потом вертикальное перемещение.
|
|
|
Рис. 7 Нумерация перемещений в глобальной системе координат
Таблица 3
Матрица индексов ансамбля КЭ
| № КЭ |
| |||
| d1 | d2 | d3 | d4 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 0 | 0 | 2 | 3 |
| 3 | 1 | 0 | 2 | 3 |
Формирование матрицы жесткости.
Матрица жесткости ансамбля КЭ имеет размер 3х3 (по числу независимых перемещений в матрице индексов):
.
Элементы матрицы вычисляются по формулам:
;
;
;
;
;
;
4. Разрешающие уравнения метода конечных элементов.
Для решения задачи методом конечных элементов с использованием стержневых конечных элементов разрешающая система уравнений имеет вид:
- вектор внешних нагрузок.
.
Решение СЛАУ
Переносим вектор внешних нагрузок в правую часть уравнения
и решаем систему линейных алгебраических уравнений:
; 
; 
.
5. Формирование матрицы узловых перемещений КЭ в ЛСК.
Так как перемещения в ЛСК связаны с перемещениями в ГСК, то потребуются составляющие векторов узловых перемещений в ГСК для каждого КЭ. Используя решение системы уравнений МКЭ с учетом данных таблицы индексов (табл.3), можно записать:
; 
; 
.
;
;
;
Вычисление усилий:
; 
;
.
Рис.8. Схема деформирования заданной расчетной схемы
6. Проверка равновесия узлов фермы
Определим опорные реакции фермы от заданной внешней нагрузки (см. рис. 5)
Рис.9. Опорные реакции заданной расчетной схемы
; 
;
; 
;
; 
.
Проверим равновесие узлов фермы методами строительной механики (см. рис. 10):
Рис.10. Равновесие узлов фермы
Узел 1.
; 
;
; 
.
Узел 2.
;
.
Узел 3.
; 
;
; 
.
Проверка выполняется.
ВЫВОД
Проверка полученных результатов показывает, что условия равновесия выполнены.
Характер перемещений узлов также соответствует представлению о поведении заданной расчётной схемы под действием внешней силы, направленной горизонтально.
