Компрессионная зависимость

Для установления основных показателей сжимаемости грунта производят его уплотнение под вертикальной нагрузкой в условиях, когда деформации грунта могут развиваться только в одном направлении.

При этом используют приборы с жесткими стенками (одометры) для обеспечения сжатия грунта без возможности бокового расширения (рис. 2.1, а). Условия испытания в одометре соответствуют сжатию бесконечного слоя грунта толщиной h под действием сплошной равномерно распределенной нагрузки p, например веса вышележащих слоев грунта (рис. 2.1, б). В том и другом случае в грунте возникают вертикальные напряжения σ_z = p и вертикальные деформации ε_z, связанные с уменьшением пористости. При этом горизонтальные нормальные напряжения σ_x и σ_y равны между собой, горизонтальные деформации (боковое расширение) ε_x = ε_y равны нулю, а касательные напряжения отсутствуют.

           

Рис. 2.1. Схемы компрессионного сжатия грунта в одометре (а)

                       и при сплошной нагрузке (б)

Сжатие грунта в одометре без возможности бокового расширения называется компрессионным сжатием. Под действием давления р происходит уплотнение образца грунта, находящего в одометре. Поскольку уплотнение грунта связано с изменением его пористости, результаты компрессионных испытаний можно представить в виде компрессионной кривой – зависимости коэффициента пористости грунта от давления (рис. 2.2). Впервые такая зависимость была получена в опытах К. Терцаги в 20 – 40-е годы XX века.

При испытаниях в компрессионном приборе (одометре) давление на образец обычно увеличивают ступенями. Коэффициент пористости грунта на любой ступени давления можно определить по осадкам образца. Так как образец грунта в кольце прибора не может иметь бокового расширения, изменение его пористости Dn_i под давлением p_i, распределенным по площади образца A, найдем из выражения

                                          ,                                                       (2.1)

где s_i - осадка образца;  - изменение пористости; s_iA = ΔV_пор – изменение объема пор при уплотнении; hA = V – первоначальный объем образца.

  Объем твердых частиц в образце грунта до и после деформации остается неизменным, так как действующие давления малы, чтобы изменить объем минеральных частиц.

                                            

    Рис. 2.2. Компрессионная кривая грунта нарушенной структуры

 

Согласно формуле (1.16) объем твердых частиц в единице объема образца V_s= m составляет

                                    ,                                                                   (2.2)

где е₀ – начальный коэффициент пористости грунта.

 

    Учитывая, что коэффициент пористости  (1.15), получим значение изменения коэффициента пористости образца грунта Dе_i под действием давления p_i делением левой и правой частей формулы (2.1) на выражение (2.2):

                                .                                                       (2.3)

Зная, что Dе_i = e₀ - e_i и , найдем выражение для e_i - коэффициента пористости грунта при давлении p_i:

                              e_i = e₀ – (1 + e₀)e_i,                                                         (2.4)

где e_i   - относительная деформация образца грунта, соответствующая давлению p_i.

Используя формулу (2.4), можно определить значение e_i для различных ступеней давления и построить ветвь нагрузки (или ветвь уплотнения) компрессионной кривой (см. кривая 1 на рис. 2.2).

Если начать разгружать образец, уменьшая давление ступенями, то будет наблюдаться обратный процесс – увеличение объема (набухание). Пользуясь формулой (2.4), можно построить ветвь разуплотнения (набухания) грунта (см. кривая 2 на рис. 2.2). Эта кривая располагается ниже кривой уплотнения. Ветвь разуплотнения соответствует упругим деформациям грунта. После снятия нагрузки образец не может занять первоначальный объем вследствие происшедших при уплотнении грунта взаимных смещений частиц, разрушения старых и установления новых связей между частицами при уплотнении. Это приводит к тому, что в грунте преобладают остаточные деформации, а упругие деформации весьма незначительны.

Рассмотренная деформация характерна для грунтов, не обладающих структурной прочностью. При уплотнении грунтов естественной структуры на компрессионной кривой можно выделить 2 участка (рис. 2.3, а): при давлениях  p < p_str процесс уплотнения практически не развивается и график имеет очертание, близкое к линейному; при p > p_str происходит разрушение структурных связей в грунте и уплотнение грунта. Перелом на компрессионной кривой соответствует структурной прочности грунта. Однако получить на компрессионной кривой резкий перелом удается редко, поэтому на практике структурную прочность грунта определяют по графику компрессионных испытаний, построенному в полулогарифмических координатах (рис. 2.3, б).

Если начертить компрессионную кривую в полулогарифмических координатах, то изменения коэффициента пористости будут линейно зависеть от логарифма изменений внешнего давления.

В широком диапазоне давлений уравнение компрессионной кривой может быть представлено в виде

                                       ,                                                   (2.5)

где е₀ – начальный коэффициент пористости грунта; р₀ – давление, при котором начинается первичное сжатие грунта (может быть принято за структурную прочность грунта); e_i   и р_i   - коэффициент пористости и давление на i- й ступени нагрузки; С_с – коэффициент компрессии.

 

       Рис. 2.3. Компрессионная кривая грунта естественной структуры

                      в простой (а) и полулогарифмической (б) системе координат

 

Если рассматривать компрессионную кривую не полностью, а ограничиться небольшим диапазоном давлений (0,1...0,3 МПа), то можно с достаточной для практики точностью принять отрезок компрессионной кривой за прямую (рис. 2.4).

                  Рис. 2.4. Определение коэффициента сжимаемости

 

Уравнение этой прямой можно записать в виде

                                   e_i = e₀ - tga×p_i.                                                                 (2.6)

Тангенс угла наклона отрезка компрессионной кривой к оси давлений tga характеризует сжимаемость грунта в пределах изменения давления от р₁ до р₂, так как чем больше угол наклона a, тем больше будет сжимаемость грунта. Эта величина называется коэффициентом сжимаемости и обозначается m₀:

                                            tga = m₀.                                                           (2.7)

    

  Значение m₀ найдем из рис. 2.4:

                                         .                                          (2.8)

  Заменяя в выражении (2.6) tga  на  m₀, получим

                                         e_i = e₀ – m₀ ×p_i                                                     (2.6, a)

  Выражение (2.4) можно представить в виде

                                      .                                                 (2.4, а)

  Из сопоставления выражений (2.6, a) и (2.4, а) найдем

                                    ,

откуда

                                         .                                                         (2.9)                            

Левую часть этого уравнения обозначают m_v и называют коэффициентом относительной сжимаемости. Он численно равен относительной осадке образца, приходящейся на единицу действующего давления.

                                         .                                                (2.10)

Коэффициенты m₀ и m_v  являются характеристиками сжимаемости грунта и имеют размерность МПа^-1.

 

2.1.2. Закон уплотнения грунта     

Если выражение (2.8) переписать в виде

                         (e₁ – e₂) = m₀(p₂ – p₁)

и перейти к приращениям Dе = e₁ – e₂ и Dр= p₂ – p₁, то получим

Dе = m0Dр.

(2.11)

                                   

Уравнение (2.10) представляет собой закон уплотнения грунта: в ограниченном диапазоне давлений изменение коэффициента пористости прямо пропорционально изменению давления.

Из выражения (2.4) видно, что   

                                       Dе = (1+e₀)e_i.                                                           (2.12)

Подставив выражение (2.12) в (2.11), получим

 

                                    (1 + e₀)e_i = m₀Dр

или

                                      .                                            (2.13)

Из выражения (2.13) видно, что относительная деформация грунта так же, как и изменение коэффициента пористости, пропорциональна изменению давления.

Закон уплотнения грунта чрезвычайно важен для механики грунтов, так как лежит в основе принципа линейной деформируемости - одного из её фундаментальных положений. Он позволяет, хотя бы в ограниченном диапазоне давлений, рассматривать грунт как линейно деформируемую среду и применять к нему хорошо разработанный математический аппарат теории упругости.

 

2.1.3. Основные деформационные характеристики грунтов

Так как в пределах небольших изменений давления грунт можно рассматривать как линейно деформируемое тело, запишем уравнение закона Гука для случая сжатия грунта без возможности бокового расширения:

                                   ,                                                     (2.14)

ε_x = 0,

ε_y = 0.

 

Параметры зависимостей (2.14) в механике грунтов называются: Е – модуль деформации;  – коэффициент поперечной деформации, или коэффициент Пуассона. Е характеризует жесткость грунта и измеряется в единицах напряжения, а  – меру деформирования в направлении, перпендикулярном действующему напряжению.

Модуль деформации грунта является основной деформационной характеристикой грунта. Его называют модулем общей деформации, так как этот показатель суммарно характеризует остаточные и упругие деформации грунта.

В этом уравнении для нашего случая

                , ,     ,               (2.15)

где  – коэффициент бокового давления грунта в состоянии покоя, т.е. при отсутствии горизонтальных перемещений, что характерно для компрессионного сжатия.

Подставив полученные выражения, уравнение (2.14) можно записать в виде

                                .                                                     (2.16)

Обозначая     и учитывая, что , получим выражение для определения модуля деформации грунта по результатам компрессионных испытаний:

                                  .                                                       (2.17)

Здесь b может рассматриваться как коэффициент, учитывающий отсутствие бокового расширения при компрессионных испытаниях.

  Таким образом, деформационными характеристиками грунта являются: модуль деформации E; коэффициент поперечной деформации (Пуассона) ν; коэффициент сжимаемости m₀; коэффициент относительной сжимаемости m_v; коэффициент бокового давления грунта в состоянии покоя ξ.

Значение модуля деформации грунта, найденное с помощью компрессионных испытаний, отличается от действительного вследствие уменьшения напряжений в скелете грунта при отборе образца и частичного или полного разрушения структурных связей. Таким образом, значения модуля деформации получаются заниженными. Поэтому характеристики сжимаемости грунтов точнее определяются по результатам полевых испытаний.