Закон ламинарной фильтрации

Водопроницаемость – свойство водонасыщенного грунта под действием разности напоров пропускать через свои поры сплошной поток воды. Такое движение воды при полностью заполненных порах называется фильтрацией.

Водопроницаемость грунтов зависит от их пористости, гранулометрического и минералогического состава. Для движения воды в грунтах необходим некоторый градиент напора. Это может быть как разница высот рассматриваемых точек грунта от нулевого уровня (рис. 2.5), так и наличие внешнего (гидростатического) давления.

Движение воды в порах грунт происходит в соответствии с законом ламинарной фильтрации. Ламинарное движение (в отличие от турбулентного) – это движение воды, когда линии токов не пересекаются между собой.

Математическое выражение закона ламинарной фильтрации предложено французским ученым Дарси (1856 г.):

Vф = k×i,

                                                                                                                           (2.18)

где V_ф – скорость фильтрации, то есть объем воды, проходящей в единицу времени через единицу площади поперечного сечения грунта; k – коэффициент фильтрации, равный скорости фильтрации при единичном градиенте (i = 1); i – гидравлический градиент.

 

                                                                          

Рис. 2.5. Схема фильтрации воды в грунтах

    

  Закон ламинарной фильтрации формулируется так: скорость фильтрации воды в грунтах прямо пропорциональна гидравлическому градиенту.

Если движение воды в грунтах вызывается разницей высот, то гидравлический градиент равен потере напора на длине пути фильтрации:

                                       ,                                                  (2.19)

где Н = Н₂ – Н₁ – потеря напора (разность отметок двух точек в грунте);

L – длина пути фильтрации (расстояние между этими точками).

Если движение воды в грунтах вызывается действием внешнего давления р, которое может быть выражено высотой столба воды, то напор определяется по формуле

                                        ,                                                            (2.20)

где g_w = 9,81 кН/м³ – удельный вес воды.

Коэффициент фильтрации имеет размерность см/с, м/сут; см/год. Он определяется экспериментально как лабораторным путем, так и в полевых условиях. Коэффициент фильтрации зависит от гранулометрического и минерального состава грунта, а также от его плотности. Значение его изменяется в очень широких пределах: от k = а ×10^-1 … а ×10^-4 для песков до k = а ×10^-7 … а ×10^-10 для глин, где а – любое число от 1 до 9.

В лаборатории в приборе, называемом трубкой СПЕЦГЕО, коэффициент фильтрации определяется по формуле

                 [см/с] или   [м/сут],                     (2.21)

где Q – количество воды, см³ (по мерной трубке прибора); t – время фильтрации (для данного количества воды); F – площадь фильтрационной трубки; i – гидравлический градиент; ТП  – температурная поправка (для приведения температуры воды к 10 ⁰С).

                                      ТП = 0,7 + 0,03 Тw  .                                            (2.22)

Здесь Тw – фактическая температура воды, ⁰С.

2.2.1. Фильтрационные свойства глинистых грунтов

Многочисленные опыты по фильтрации воды в песчаных грунтах полностью подтверждают справедливость закона Дарси при любых значениях гидравлического градиента (прямая 1, рис. 2.6).

Рис. 2.6. График зависимости скорости фильтрации

                                   от гидравлического градиента

    

  Однако в глинистых грунтах при небольших значениях гидравлического градиента фильтрация может не возникать (начальный участок на кривой 2, рис. 2.6). Увеличение градиента приводит к постепенному, медленному развитию фильтрации, и при некоторых значениях его устанавливается постоянный режим фильтрации (прямолинейный участок на кривой 2, рис. 2.6).

В этом случае закон Дарси может быть записан в следующем виде:

                                      V_ф = k×(i –i₀),                                                         (2.23)

где i₀ – начальный градиент.

 

2.2.2. Эффективное и нейтральное давление в грунте

  Процесс уплотнения водонасыщенного грунта может быть наглядно продемонстрирован с помощью механической модели (рис. 2.7).

В первый момент времени (t = 0), пока несжимаемая вода не успела выйти из отверстия, поршень еще не переместился по вертикали, пружина не получила деформацию и усилие в ней равно 0 (р_z = 0). В воде в этот момент возникает давление р_w = р, то есть в первый момент времени все давление передается на воду.

По мере выдавливания воды через отверстие поршень будет опускаться и часть давления будет передаваться на пружину. В течение этого процесса будет сохраняться равенство

                                           р_z + р_w = р.                                                       (2.24)

После выдавливания определенного количества воды из-под поршня давление будет полностью передано на пружину, то есть при t ® ¥ р_w = 0;  р_z = р.

Рис. 2.7. Модель деформации водонасыщенного грунта:

1 – стакан; 2 – поршень с отверстием; 3 – нагрузка; 4 – вода; 5 – пружина

 

По аналогии с рассмотренной механической моделью в процессе уплотнения водонасыщенного грунта в нем одновременно действуют две системы давлений: давление в скелете грунта s_d, называемое эффективным напряжением, и давление в поровой воде s_w, называемое нейтральным (поровым) напряжением. Давление в скелете грунта эффективно сказывается на состоянии грунта, уплотняя его. Нейтральное давление не сказывается на деформации грунта, то есть оно нейтрально по отношению к скелету.

Руководствуясь выражением (2.24), можно записать

                                           s  = s_d + s_w,                                                       (2.25)

где s - полное напряжение, действующее в грунте.

Тогда эффективное напряжение в грунте

                                  s_d = s -  s_w.                                                              (2.26)

Процесс постепенной передачи внешнего давления на скелет грунта в результате уплотнения и отжатия воды из пор называется фильтрационной консолидацией (первичной консолидацией).

Кроме первичной консолидации с течением времени в грунтах может развиваться процесс ползучести скелета и тонких пленок воды, который является проявлением реологических свойств грунта и называется вторичной консолидацией.

Давление в грунте от внешней нагрузки, эквивалентное весу столба жидкости, называют гидростатическим.

В процессе фильтрации в порах грунта вода оказывает давление на грунтовый скелет. Это давление называется гидродинамическим. Гидродинамическое давление D (в кН/м³) численно равно сопротивлению грунта, но направлено в противоположную сторону:

                                          D = -i×g_w,                                                           (2.27)

где i – гидравлический градиент,  g_w - удельный вес воды.