Математичні моделі на рівні функціональних ланок системи

Розглянемо деякі особливості математичного опису функціональних ланок на прикладі лінійних інерційних ланок. Для їх опису часто використовуються: імпульсна характеристики, перехідна характеристики, комплексна частотна характеристики ланки.

При використанні імпульсної характеристики лінійної інерційної ланки  вихідний сигнал  через вхідний сигнал  записується у вигляді інтегралу Дюамеля

. (6)

 

Для опису лінійної інерційної ланки може бути також використана перехідна характеристика, що зв'язана з імпульсною характеристикою наступним співвідношенням

 

. (7)

 

Поряд з часовим описом може також використовуватися частотний опис ланки у вигляді частотної характеристики (частотного коефіцієнту передачі) , яка однозначно зв'язана з імпульсною характеристикою  перетворенням Фур'є

 

. (8)

 

При цьому спектр вихідного сигналу визначається через спектр вхідного сигналу та частотну характеристику ланки

 

. (9)

 

При переході до дискретного часу та кінечного інтервалу спостереження сигналів зв'язок між входом і виходом лінійної системи описується дискретною згорткою, яка фактично визначає роботу нерекурсивного цифрового фільтру

. (10)

 

де - відліки вхідного дискретного сигналу,  - відліки імпульсної характеристики.

У випадку спектрального зображення сигналів відповідні перетворення у функціональних ланках виконуються згідно (9). Для сигналів з дискретним часом спектр визначається через дискретне перетворення Фур'є (ДПФ)

 

.     (11)

 

Відліки спектру сигналу обчислюються для дискретних значень частот

 

. (12)

 

Перехід до відліків спектру  сигналу проводиться за допомогою оберненого дискретного перетворення Фур'є

 

.    (12)

 

При моделюванні сигналів значної розмірності  доцільно використовувати швидкі алгоритми перетворення Фур'є, які дають можливість суттєво зменшити обсяг обчислення на ЕОМ при виконанні прямого та оберненого ДПФ.

В системах зв'язку використовуються багато різних видів лінійних та нелінійних, інерційних та безінерційних ланок. Для прикладу можна навести приклади типових ланок: генератори сигналів заданої форми; амплітудний, фазовий, частотний модулятор та детектор; інтегратор; корелятор; низькочастотний, високочастотний, полосовий, узгоджений фільтр; перемножувач частоти сигналів та інші. В табл. 1 приведено опис деяких функціональних ланок. Для описування ланок необхідно знати вид функційного перетворення . Якщо вид функціонального перетворення досить складний, його апроксимують простими функціями. В ряді випадків цю функцію перетворення розкладають в ряд Фур'є, Тейлора, а потім виконують необхідні перетворення.

Слід зазначити, що при моделюванні можуть бути використані також ймовірнісні моделі функціональних ланок та системи в цілому, що описують функціювання у реальних умовах роботи систем зв’язку.

 

Таблиця 1 - Деякі основні типи функційних ланок

Назва ланки	Оператор перетворення	Назва перетворення	Зображення на функційній схемі
1	2	3	4
1. Лінійні безінерційні ланки		Повторення інвертування підсилення	K
2. Лінійні інерційні ланки		затримка сигналу на інтервал   інтегрування   диференціювання   фільтрування
3. Нелінійні безінерційні ланки		Нелінійне функційне перетворення
Генератори		Генерування сигналу
5. Модулятор		моделювання сигналу-носія  повідомленням