Анализ надежности последовательно-параллельных невосстанавливаемых систем

Приведем ряд терминов, используемых при анализе надежности резервированных систем.

Определение терминов взято из [1].

Основной (рабочий) элемент – элемент основной физической структуры системы, минимально необходимый для выполнения возложенных на нее задач.

Резервный элемент – элемент, предназначенный для обеспечения работоспособности системы в случае отказа основного элемента.

Общее резервирование – резервирование, при котором резервируется система в целом.

Раздельное резервирование – резервирование, при котором резервируются отдельные компоненты системы.

Нагруженный резерв – резервный элемент, находящийся в том же режиме, что и основной.

Ненагруженный резерв – резервный элемент, практически не несущий нагрузок.

Облегченный резерв – резервный элемент, находящийся в менее нагруженном режиме, чем основной.

Начнем наше рассмотрение с простейших схем нагруженного резервирования, так называемых последовательно-параллельных структур (систем). Удобной графической интерпретацией последовательно-параллельных структур являются блок-схемы надежности (в зарубежной литературе – reliability block diagram или RBD). Эта визуальная модель представляет надежностные взаимосвязи между компонентами и не всегда соответствует реальному соединению элементов системы. Расчет показателей надежности в рамках этих моделей может осуществляться различными методами – формульными, логико-вероятностными, интегральными соотношениями, статистическим моделированием. В данном разделе мы будем рассматривать простейший метод расчета показателей надежности (безотказности) невосстанавливаемых последовательно- параллельных систем, основанный на использовании соотношений теории вероятностей, полученных из теорем полной вероятности и теорем сложения и умножения вероятностей.

Хотя метод ориентирован на произвольное распределение случайного времени возникновения отказов элементов, мы ограничимся рассмотрением экспоненциального случая. Для

одного “экспоненциального” элемента формулы основных показателей безотказности сведены в таблицу 1.

Таблица 1. Основные показатели безотказности элемента с экспоненциально распределенной наработкой до отказа.

наименование показателя	аналитическое выражение
Вероятность безотказной работы на интервале (0,t)	e-λt
Вероятность отказа на интервале (0,t)	1-e-λt
Плотность распределения случайной наработки до отказа	λ e-λt
Интенсивность отказов	Λ
Средняя наработка до отказа	1/λ

1. Последовательное соединение элементов

Последовательное соединение элементов представляет собой неизбыточную структуру без резервирования. Отказ каждого из элементов приводит к отказу системы в целом. Блок-схема надежности последовательного соединения n элементов представлена на рис.1.

Рис. 1. Блок-схема надежности последовательного соединения.

Вероятность безотказной работы P(t) для последовательного соединения определяется как произведение вероятностей безотказной работы ее элементов p_i(t)

P(t) = p1(t)p2 (t)...pn (t) = Õpi (t) .

i=1

Для экспоненциального случая:

P(t) = e-l1t ×e-l2t ×...× e-lnt = e-(l1+l2 +...+ln)t

Интенсивность отказов определяется как сумма интенсивностей отказов элементов системы:

l(t) = - P¢(t) = l + l +... + l = l

P(t) 1 2 n å

Средняя наработка до отказа есть

¥ ¥

-l t

1 -l t ¥ 1

T = òP(t)dt =òe å dt = -

e å =

0 0 lå

0 lå

2. Параллельное соединение элементов

Параллельное соединение элементов представляет собой избыточную структуру с нагруженными (активными) резервными элементами, показанную на блок-схеме рис.2.2

Рис.2 Параллельное соединение элементов.

Одновременно работают все n элементов. Система работоспособна пока работает хотя бы один элемент из n. Отказом системы является отказ всех n ее элементов. Тогда вероятность отказа системы Q(t) будет равна произведению вероятностей отказа ее элементов q_i(t):

Q(t) = Õqi (t) .

i=1

Вероятность безотказной работы:

P(t) = 1- Õ(1- pi (t)).

i=1

И для равнонадежных элементов

P(t) = 1- (1- p(t))ⁿ = 1-(q(t))ⁿ.

Рассмотрим частные случаи параллельного соединения из двух и трех элементов.

3. Дублированная схема

Вероятность безотказной работы дублированной схемы может быть представлена через произведение вероятностей независимых событий отказа ее элементов

P(t) = 1- (1- p1(t))(1- p2 (t))

или как сумма вероятностей совместных событий их исправной работы

P(t) = p1(t) + p2 (t) - p1(t)p2 (t).
При экспоненциальном распределении получаем

P(t) = e-l1t + e-l2t -e-(l1+l2)t .

Наработка до отказа есть

T = 1 + 1

l1 l2

- 1

l1 + l2

И при равнонадежных элементах имеем

P(t) = 2e-lt - e-2lt

l(t) =

2le-lt - 2le-2lt 2e-lt - e-2lt

= 2l - 2le^-lt

2 - e-lt

T 3 .

Исследование выражения показывает, что интенсивность отказов дублированной схемы, состоящей из элементов с постоянными интенсивностями отказов, является функцией

времени, при больших временах стремящейся к λ одного элемента (λ(t) дублированной схемы показан на рис 3.

l(0) = 0; l(t) ® l). График

t®¥

Рис 3. Зависимость от времени интенсивности отказов дублированной схемы.

4. Троированная схема

Троированная схема имеет три параллельно работающих нагруженных элемента. Отказ схемы происходит при отказе всех трех элементов.

Вероятность безотказной работы равна

или

P(t) = 1- (1- p1(t))(1- p2 (t))(1- p3(t))

P(t) = p1(t) + p2(t) + p3(t) - p1(t)p2(t) - p1(t)p3(t) - p2(t)p3(t) + p1(t)p2(t)p3(t)

Для экспоненциального случая и равнонадежных элементов

P(t) = 3e-lt - 3e-2lt + e-3lt

Средняя наработка до отказа

5. Схемы “m из n”

T = 11

Рассмотрим общий случай схем параллельного соединения n элементов – схему “m из n”. Такая схема считается работоспособной пока работают хотя бы m элементов из n. Отказом схемы является отказ минимум n-m+1 ее элементов, т.е. n-m+1, n-m+2, …, n:

Рассмотрим общую процедуру вычисления показателей надежности, основанную на формировании подмножества состояний работоспособности или подмножества состояний отказа множества всех возможных состояний схемы, отличающихся различными комбинациями работоспособных и отказавших элементов. Всего имеем n+1 событие A₀, A₁, … A_n, из которых n-m+1 событие соответствует работоспособности схемы (i=0¸n-m), а m событий соответствуют

отказу схемы (i=n-m+1¸n). Каждое событие формируется из работоспособных элементов:

i комбинаций i отказавших и n-i

Очевидно, что события A₀, A₁, … A_n составляют полную группу несовместных событий.

Тогда вероятность безотказной работы P(t) и вероятность отказа Q(t) могут быть вычислены как сумма вероятностей возникновения соответствующих событий:

n-m

P(t) = P(A0 UA1...UAi...UAm) =

åCi pn-iqi

i=0

Q(t) = P(Am+1UAm+2...UAn) =

åCi pn-iqi

i=n-m+1

Если m < (n+1)/2, то вероятность безотказной работы целесообразно вычислять как 1-Q(t).

Таблица.2.2. Формулы для расчета вероятности безотказной работы схем “m из n”

	n = 1	n = 2	n = 3	n = 4	n = 5
m = 2	1 - q2
m = 3	1 - q3	p3 + 3p2q
m = 4	1 - q4	1- (4pq3 + q4)	p4 + 4p3q
m = 5	1 - q5	1 - (5pq4 + q5)	p5 + 5p4q + 10p3q2	p5 + 5p4q
m = 6	1 - q6	1 - (6pq5 + q6)	1 - (15p2q4 + 6pq5 + q6)	p6 + 6p5q + 15p4q2	p6 + 6p5q

6. Мажоритарная схема ”2 из 3”

Наиболее распространенной конфигурацией схем “m из n” является конфигурация “2 из 3”. Часто эта конфигурация используется в информационных системах (аналоговых или дискретных), в которых происходит сравнение значений выходных сигналов и выбор правильного значения по большинству. Такие схемы получили название мажоритарных (рис 4).

Рис 4. Блок-схема надежности мажоритарной структуры “2 из 3” Предполагается, что в мажоритарных схемах присутствует специальное устройство,

называемое восстанавливающим органом (ВО), который и осуществляет операцию выбора уровня (значения) выходного сигнала схемы. В общем случае ВО не обладает идеальной надежностью, что должно быть учтено при составлении выражений для вычисления показателей надежности. Так как отказ ВО сразу приводит к отказу всей схемы, то вероятность безотказной работы определяется как произведение вероятностей безотказной работы параллельного соединения “2 из 3” и восстанавливающего органа:

где

P(t) = P_2/3(t)*P_BO(t),

2 / 3

P (t)= p3 + 3p2q = 3p2 - 2p3.

Пусть P_BO(t) = 1, тогда для экспоненциального распределения

P(t) = 3e-2lt - 2e-3lt;

T = 5 l.

Значение средней наработки до отказа мажоритарной схемы оказалось хуже не только троированной и дублированной схемы, но и хуже, чем наработка одного нерезервированного элемента. Таким образом, применение мажоритарных структур без восстановления целесообразно лишь с точки зрения повышения достоверности выходной информации на коротких интервалах времени.

7. Расчет средней наработки до отказа

Рассмотрим случай резервированных структур “1 из n”, состоящих из равнонадежных

¥ ¥

экспоненциально распределенных элементов: T = ò P(t)dt = ò[1 - (1 - e-lt)n ]dt.

0 0

Применим процедуру, описанную в [15]. Сделаем замену переменных

1 - e-lt = x; t = 1 ln

1 ;

1 - x

dt =

dx.

l(1 - x)

Тогда средняя наработка до отказа для схем “1 из n” будет определена как

1 1 1 - xn

T =

dx =

ò (1 + x +... + xn-1 )dx =

1 (1 +

1 +... + 1)

l 0 1 - x l 0

l 2 n

А средняя наработка до отказа для схем “m из n” равна

l ç n

T = 1 æ 1 +

1 +

n -1

n - 2

... + 1 ö .

m ÷

В таблицу сведены выражения для средних наработок до отказа основных видов схем “m из n”, полученные по формулам.

Таблица 3. Формулы для расчета средних наработок до отказа схем “m из n”.

	m = 1	m = 2	m = 3	m = 4	m = 5
n = 2	3 2l
n = 3	11 6l	5 6l
n = 4	25 12l	13 12l	7 12l
n = 5	137 60l	77 60l	47 60l	9 20l
n = 6	147 60l	29 20l	57 60l	37 60l	11 30l

8. Расчет надежности сложных последовательно-параллельных невосстанавливаемых систем

Реальные высоконадежные системы обычно представляют собой совокупность произвольно соединенных резервированных схем. Если как сами схемы, так и их соединения между собой есть рассмотренные выше конфигурации (дублированные, троированные, “m из n”), то такие системы называют сложными последовательно-паралельными системами. Для расчета показателей безотказности таких систем применяется процедура последовательного расчета звеньев по приведенным выше формулам и замене резервированного звена одним элементом с известной вероятностью безотказной работы. Эта процедура повторяется до тех пор, пока система не будет сведена к известной последовательно-параллельной конфигурации. Поясним применение процедуры на примере расчета сложной системы, показанной на рис 5. На первом этапе расчета выделим звено последовательного соединения (А) и два дублированных звена (В и С). Для них по известным формулам (рассчитаем вероятности безотказной работы (P_A,P_B,P_C) и заменим эти звенья на эквивалентные элементы А, B, C.. На втором этапе последовательное соединение элементов 4 и B и 7 и С заменим на эквивалентные элементы D и E с соответствующими вероятностями безотказной работы P_D и P_E. Для полученной простой последовательно- параллельной схемы на третьем этапе записываем выражение для системной вероятности безотказной работы.