Расчет надежности невосстанавливаемых сложных резервированных структур

1. Расчет надежности мостиковых схем

Рассмотрим схему передачи сигнала между источником A и приемником B в сети мобильной телефонной связи с ретрансляторами. Функциональная схема сети представлена на рис.2.6.

Рис 6. Функциональная схема МТС с ретрансляторами.

При отсутствии связи между ретрансляторами сигнал может быть передан по маршрутам: 1,3; 2,4. Введение двухсторонней связи (5) между ретрансляторами С и D позволило передать информацию между узлами А и B по следующим маршрутам: 1,3; 2,4; 1,5,4; 2,5,3.

На рис. 2.7 приведен пример еще одной сложной схемы - подсистемы формирования и подачи пара на турбины энергетического блока АЭС [30]. Подсистема состоит из установки поддержания вакуума в секциях главного конденсатора (1), секции главного конденсатора левого и правого каналов (2, 3), конденсатных насосов левого и правого каналов (5, 6), перемычки между каналами (4), питательных насосов левого и правого каналов (7, 8), блоков питательных клапанов левого и правого каналов (9, 10), парогенераторов левого и правого каналов (11, 12, 13, 14),

турбогенератора (15).

Наличие перемычки (4) позволяет обеспечить работу конденсатного насоса одного канала на питательный насос другого. Для обеспечения нормального функционирования турбогенератора достаточным является нахождение в работе любых двух (из четырех) парогенераторов.

Рис 7. Функциональная схема фрагмента ядерной энергетической установки.

Рассмотренные схемы не могут быть представлены последовательно-параллельным соединением в смысле надежности. Характерной особенностью этих схем является наличие перемычки между каналами, что позволяет при отказе последовательного фрагмента одного канала работать, используя аппаратуру другого канала.

Схемы подобного рода получили название мостиковых схем или просто “мостика”.

Блок-схемы надежности ретрансляционной сети и фрагмента ядерной энергетической установки представлены на рис.2.8 и 2.9 соответственно.

Рис 8 Блок-схема надежности MTC с ретрансляторами.

Рис 9. Блок-схема надежности фрагмента ядерной энергетической установки

При расчете мостиковых структур используется метод разложения относительно особого элемента, основанный на формуле полной вероятности (см. приложение 1). Сформируем полную группа событий относительно перемычки “мостика” (элемент 5). Событие B₁ - перемычка не отказала; событие B₂ - перемычка отказала. Для определения вероятности события безотказной работы “мостика” (А) при условии B₁ и B₂ рассматриваются его преобразованные схемы. Если реализовалось условие B₁, то мостиковая схема преобразуется в последовательное соединение двух дублированных структур, как это показано на рис.10.a. Если реализовалось условие B₂, то мостиковая схема преобразуется в дублированную структуру, верхний канал которой состоит из последовательного соединения элементов 1 и 3, а нижний – 2 и 4 (см. рис10.б). Тогда выражение для вероятности безотказной работы мостиковой схемы имеет вид

P(A) = P(B₁)P(A/B₁) + P(B₂)P(A/B₂) =p₅[(1 - q₁q₂)(1 - q₃q₄)] + (1-p₅)[1 – (1-p₁p₃)(1-p₂p₄)] (2.26)

a). Элемент 5 (перемычка) работоспособен

б). Элемент 5 (перемычка) отказал

Рис 10. Преобразование схемы “мостика”.

Идея метода разложения может быть применена не только для одного, но и для группы особых элементов. В этом случае рассматриваются все комбинации состояний работоспособности и отказа элементов группы. Если для всех комбинаций анализируемая схема сводится к последовательно-параллельному соединению, то расчет надежности производится по известным формулам, основанным на теоремах о вероятности суммы и произведения случайных событий. Если при каких-либо комбинациях схема не сводится к последовательно-параллельному соединению, то снова выбирается особый элемент или группа и проводится операция разложения. Процесс выбора и разложения относительно особого элемента повторяется вплоть до сведения схемы к последовательно-параллельному соединению.

Рассмотрим резервированную двухканальную систему с двумя однонаправленными перемычками между верхним и нижним каналом. Блок-схема надежности системы, набранная в модуле RBD Windchill Quality Solutions, показана на рис 11.

Рис 11. Блок-схема надежности двухканальной системы с однонаправленными пермычками.

Перемычка 1 формируется из элемента 5 и обеспечивает резервирование элемента 3 элементом 4. Перемычка 2 формируется из элемента 6 и обеспечивает резервирование элемента 4

элементом 3. Все элементы системы равнонадежны (p-вероятность безотказной работы элемента, q

– вероятность отказа).

В качестве группы особых элементов выберем две перемычки – элементы 5 и 6. Полная группа событий относительно этих элементов будет {B₁,B₂,B₃,B₄}:

B1 = A5 × A6;

B2 = A5 × A6;

B3 = A5 × A6;

B4 = A5 × A6,

где Ai - событие работоспособности i - го элемента, Ai - событие отказа i - го элемента.

Результат первой итерации разложения приведен ниже

№ схемы	Событие	Полученная схема	Вероятность безотказной работы схемы
Схема 1	Событие B₁ P(B₁) = p²		P₁=(1-q²)²
Схема 2	Событие B₂ P(B₂) = pq		Необходимо дальнейшее разложение
Схема 3	Событие B₃ P(B₃) = qp		Необходимо дальнейшее разложение
Схема 4	Событие B₄ P(B₄) = q²		P₄=1-(1-p²)²

Схемы 2 и 3 не являются последовательно-параллельным соединением, поэтому необходимо проведение еще одной итерации разложения.

Схему 2 разложим по элементу 1. Событие B₂₁ – элемент 1 работает, B₂₂ – элемент 1 отказал.

№ схемы	Событие	Полученная схема	Вероятность безотказной работы схемы
Схема 2.1	Событие B₂₁ P(B₂₁) = p		P₂₁=(1-q²)
Схема 2.2	Событие B₂₂ P(B₂₂) = q		P₂₂=p²

Схему 3 разложим по элементу 2. Событие B₃₁ – элемент 2 работает, B₃₂ – элемент 2 отказал.

№ схемы	Событие	Полученная схема	Вероятность безотказной работы схемы
Схема 3.1	Событие B₃₁ P(B₃₁) = p		P₃₁=(1-q²)
Схема 3.2	Событие B₃₂ P(B₃₂) = q		P₃₂=p²

И окончательно, вероятность безотказной работы двухканальной схемы с двумя однонаправленными перемычками будет:

P=P(B₁)P₁+P(B₂₁)P₂₁+P(B₂₂)P₂₂+ P(B₃₁)P₃₁+P(B₃₂)P₃₂+ P(B₄)P₄.

2. Расчет надежности схем с повторяющимися элементами

Иногда при анализе надежности приходится учитывать элемент, отказ которого приводит к отказу сразу нескольких частей анализируемой системы. Классическим примером такой ситуации являются отказы источников питания, одновременно приводящие к неработоспособности значительных частей системы в целом. В блок-схемах надежности такой элемент учитывается с помощью “повторяющегося блока” (“повторяющегося элемента”), который может присутствовать в разных ветвях блок-схемы, физически являясь одним элементом.

ассмотрим схему раздельного питания нижнего и верхнего каналов двух дублированных структур (рис 12). Если мы сформируем группу особых элементов из источников питания П₁ и П_2, то схема сведется к последовательно-параллельным соединениям, показанным на рис 13 и

соответствующим работоспособности П₁ и П₂ (2.13.а) работоспособности П₁ и отказу П₂ (2.13.б), работоспособности П₂ и отказу П₁ (2.13.в).

Рис.2.12. Схема раздельного питания нижнего и верхнего каналов дублированных структур


а) Источники питания П₁ и П₂ работоспособны.	б). Источник питания П₁ работоспособен, П₂- отказал.	в). Источник питания П₂ работоспособен, П₁ отказал.

Рис. 13. Преобразованная схема раздельного питания.

Вероятность безотказной работы схемы раздельного питания будет

Р = Pп1Pп2 (1- q1q2 )(1- q3q4 ) + Pп1Qп2p1p3 + Pп2Qп1p2p4,

На рис. 14 приведена зависимость от времени вероятности безотказной работы схемы, рассчитанная с учетом и без учета повторяющихся элементов (источников питания). График показывает, что приближенный расчет без учета повторяющихся элементов занижает вероятность безотказной работы схемы по сравнению с точным значением.