2020-04-12
212Выбор базисных переменных, т.е. переменных относительно которых строится математическая модель, позволяет минимизировать число уравнений математической модели. Так, в базисе узловых потенциалов закон Кирхгофа для напряжений удовлетворяется тождественно:
, но 
, следовательно
.
Однако, 
, поэтому последнее уравнение выполняется при любых 
. Таким образом, в топологической подсистеме остаются только уравнения, соответствующие закону Кирхгофа для токов. Таким образом, математическая модель цепи в базисе узловых потенциалов представляется системой уравнений вида:
,
где [Y] – матрица проводимостей цепи, - вектор узловых потенциалов, 
- вектор токов, воздействующих на цепь.
Итак, рассмотрим формирование математической модели в базисе узловых потенциалов.
1. Рассмотрим линейную цепь, не содержащую зависимых источников, под воздействием генераторов тока:
Составим [ Y ] – матрицу цепи согласно следующему алгоритму:
· Формируется главная диагональ матрицы. Элементы диагонали Y ii равны суммам проводимостей элементов цепи, подключенных к i -ому узлу
|
|
|
· Формируются внедиагональные элементы матрицы. Внедиагональные элементы Y ij равны суммам проводимостей элементов цепи, подключенных между i -ым и j -ым узлами, взятыми со знаком минус.
Для изображенной на рисунке цепи имеем:
i j
[ Y ] – матрица пассивной цепи обладает следующими свойствами:
· Матрица симметрична относительно главной диагонали
· Сумма элементов столбцов матрицы равна сумме проводимостей элементов, подключенных между земляным узлом и узлом с номером, равным номеру столбца.
Таким образом, при составлении матрицы достаточно заполнить диагональ и один из треугольников матрицы (верхний или нижний). Второе свойство целесообразно использовать для проверки правильности формирования матрицы.
После формирования Y – матрицы, формируется вектор правой части . Элементы вектора соответствуют токам генераторов, воздействующих на цепь. Если ток втекает в узел, элементу присваивается знак «+», иначе «–». Так, для изображенной на рисунке цепи:
.
2. Рассмотрим цепь, под воздействием генераторов напряжения.
В этом случае для формирования вектора правой части необходимо осуществить преобразование генератора напряжения в генератор тока. Для этого используется внутреннее сопротивление генератора. Тогда, по теореме об эквивалентном генераторе:
В более общем случае выполняются преобразования вида:
3. Рассмотрим активную цепь, или цепь, содержащую управляемые генераторы (источники). Согласно принятой классификации, управляемые источники подразделяют на 4 типа:
|
|
|
· Источники напряжения, управляемые напряжением (ИНУН):
, где 
- коэффициент усиления по напряжению.
К данному типу относятся усилители напряжения.
· Источники напряжения, управляемые током (ИНУТ):
К данному типу относятся так называемые трансимпедансные усилители.
· Источники тока, управляемые током (ИТУТ):
, где 
- коэффициент усиления по току.
К данному типу относятся усилители тока.
· Источники тока, управляемые напряжением (ИТУН):
К данному типу относятся так называемые транскондуктивные усилители.
Как видно из приведенных соотношений необходимой размерностью – проводимость – обладает лишь параметр ИТУН. Только параметр зависимого источника данного типа может быть непосредственно внесен в [ Y ] – матрицу цепи. Включение параметра осуществляется по следующему правилу:
i j
.
Источники иных типов должны быть преобразованы к виду ИТУН. Для этого используются входные и выходные импедансы источников. Преобразование осуществляется по теореме об эквивалентном генераторе:
· ИНУН:
.
· ИНУТ:
.
· ИТУТ:
.
Пример:
Рассмотрим активный ФНЧ:
Математическая модель в матричной форме в базисе узловых потенциалов:
.
4.2.2. Алгоритм автоматизированного формирования математической модели в базисе узловых потенциалов
Рассмотрим алгоритм формирования математической модели для цепей различного вида.
1. Линейная, пассивная цепь.
Выделим обобщенную k-ую ветвь цепи, содержащую линейный импеданс, генераторы тока и напряжения.
Введем в рассмотрение следующие вектора токов и напряжений:
– вектор падений напряжений на ветвях цепи,
– вектор падений напряжений на импедансах,
– вектор внешних воздействий,
– вектор токов ветвей цепи,
– вектор токов импедансов,
– вектор внешних воздействий.
, 
, 
,
, 
, 
.
Для k -ой ветви выполняются следующие соотношения:
, 
.
Обобщая, в матричной форме получим:
,
.
Согласно закону Кирхгофа для токов, с помощью матрицы инциденций запишем:
.
После подстановки:
.
Введем в рассмотрение компонентную матрицу 
вида:
.
Тогда:
Подставив это выражение в соотношение для 
, представим:
,
или
,
поскольку
, где 
- вектор узловых потенциалов, то:
,
.
Окончательно:
,
где Y – матрица проводимостей цепи,
– вектор токов внешних воздействий, причем слагаемое 
соответствует преобразованию генераторов напряжения в генераторы тока.
