Краткие теоретические сведения

1 2

Лабораторная работа №8. Исследование переходных процессов в линейных электрических цепях.

Рис. 1. Рис. 2.

Рис. 3. Рис. 4.

Рис. 5.

Рис. 6.

Рис. 7.

Цель и краткое содержание работы.

Работа имеет целью экспериментально закрепить основные теоретические сведения, полученные студентами при изучении темы «Переходные процессы». Работа состоит из двух частей:

Опыт 1. Исследование переходного процесса при разряде емкости С через резистор R

Опыт 2. Исследование переходного процесса при разряде емкости С через индуктивность L и резистор R катушки индуктивности.

Краткие теоретические сведения.

Опыт 1.

Переходные процессы в цепи RC описываются экспоненциальным законом. При заряде ёмкости С от источника постоянного напряжения U(на рис. 1 ключ S находится в положении 1), напряжении на ёмкости U_c (рис. 2) плавно, без скачка в силу второго закона коммутации, возрастает от нуля до установившегося значения, равного U. Закон изменения U_c(t) определяется формулой:

(1)

Где t- текущее время, сек., =RC, сек.,-постоянная времени заряда.

Ток заряда ёмкости:

(2)

График этого тока приведен на рис. 2 Ток в начале процесса скачком возрастает до максимального значения U/R, а затем плавно спадает до нуля.

При разряде ёмкости C через резистор R (на рис. 1 ключ S находится в положении 2), напряжение конденсатора и его ток спадают по экспоненциальному закону.

(3)

(4)

Где = RC –постоянная времени разряда.

Время переходного процесса (скорость заряда и разряда ёмкости) определяется постоянной времени:

τ=RC (5)

цепи, т.е. величина R и C. Чем большеτтем медленнее протекает переходный процесс.

Постоянная времени может быть определена различными методами:

· Расчетом по формуле (5)

· Графически как длинна подкасательной (см. рис. 2), проведенной к любой точке экспоненты.

· Графоаналитически из формулы (3) Как видно из формулы спустя время разрядаt_pнапряжение конденсатора понижается с U до U_p. Подставим в формулу (3) t=t_p и U_c(t)=U_p, тогда:

Отсюда: (6)

Величины в формуле (6) определяются по осциллограмме.

Теоретически процессы заряда и разрядки конденсатора делятся бесконечно долго, t=∞. За время, равное 3τ, напряжение конденсатора нарастает до 0,95 от установившегося значения, а за время 4τ - до 0,99. Обычно за время переходного процесса принимают t = 3τ

2.2. Опыт 2.

Переходный процесс при заряде конденсатора C через катушку индуктивности RL от источника постоянного напряжения U (на схеме рис. 4 ключ S находится в положении 1) описывается неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка:

(7)

полное решение которого выражается как сумма частного решения (принужденный режим) и общего решения однородного дифференциального уравнения

(8)

(свободный режим), т.е. i(t)=i_пр+i_св.

При разряде ёмкости С через катушку RL(на рис. 4 ключ S переставляется в положение 2) конденсатор полностью разряжается, т.е. имеет место только свободный режим. Решение дифференциального уравнения (8) для свободного режима имеет вид:

(9)

Где P₁ и P₂- корни характеристического уравнения

(10)

А₁ и А₂– постоянные интегрирования.

После определения постоянных интегрирования:

(11)

Характер переходного процесса зависит от значения корней р₁и р₂и в конечном счете от величин R, L, C в формуле (10):

1. Если , то величина сопротивления резистора R велика.Корни p и p отрицательны и вещественны. Переходный процесс имеет апериодический характер (см. формулу 11 и кривую тока 1 на рис. 5). Энергия электрического поля конденсатора C превращается в тепловую энергия на активном сопротивлении R.

2. При уменьшении величины R наступает так называемый критический режим (см. кривую тока 2 на рис. 5). Как видно из формулы (10), корни при этом одинаковые и отрицательные p₁=p₂=p= .И здесь процесс тока описывается функцией:

(12)
То сопротивление R, при котором наступает критический режим, называется критическим сопротивлением

(13)

3. Наконец если ,то свободный процесс тока носит периодический затухающий характер (см. синусоидальную кривую тока 3 на рис. 5). Корни p и p в этом случае являются комплексными сопряжённым числами. Выражение для тока имеет вид:
(14)

Где коэффициент затухания: (15)

-угловая частота собственных затухающих колебаний периодически переходного процесса:

(16)

-резонансная частота (частота незатухающих колебаний RLC- контура, когда R=0 и затухание δ=0)

(17)

Физически периодический процесс характеризуется тем, что энергия электрического поля конденсатора периодически переходит в энергию магнитного поля катушки и обратно. Конденсатор периодически перезаряжается, а ток в цепи- меняет свое направление. Процесс является затухающим из-за наличия резистора R в контуре.

Колебательный RLC – контур имеет большое практическое значение. Он обладает избирательными свойствами. С его помощью в радиоприемнике можно настроиться на одну из принимаемых радиостанций. RLC-контур используется в резонансных усилителях, в генераторах синусоидальных колебаний.

По осциллограмме – кривой тока 3 на рис. 5 – (или по кривой напряжения на конденсаторе) можно рассчитать параметры RLC – контура:

1. По кривой 3 определяем период колебаний Т_с

2. Частота собственных колебаний: (18)