Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши

Дифференциал функции одной переменной. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

Дифференциал функции. Связь дифференциала с производной.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и непрерывна

при . Пусть - приращение независимой переменной в этой точке. Если приращение функции в точке можно представить в виде

, (1)

где не зависит от , а б/м при , то функцию называют дифференцируемой в точке .

Пример. Пусть . Тогда, выбрав произвольное , получаем:

Обозначив ( не зависит от ), , получаем, что для функции

в точке . Заметим, что в данном примере .

Определение. Дифференциалом функции называется главная часть ее приращения , линейная относительно приращения независимой переменной .

Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала конечная производная , при этом . (2)

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке , т.е. . Тогда, разделив обе части равенства на и переходя к пределу

при , получаем ;

Таким образом, из дифференцируемости функции в точке следует существование производной и равенство .

2) Достаточность. Пусть для функции в точке существует производная . Тогда , или , где б/м при .

Умножив обе части этого равенства на , получим . (3)

Так как не зависит от , и при , то равенство (3)

аналогично (1). При этом .

Замечание.

1) Из определения и теоремы вытекает, что для всякой дифференцируемой в точке функции справедливо соотношение . Тогда , (4)

поскольку б/м более высокого порядка, чем .Это равенство широко применяют для приближенных вычислений.

2) Введем понятие дифференциала независимой переменной. Для этого рассмотрим функцию . С одной стороны, . С другой стороны, из теоремы следует, что .

Таким образом, дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: . (5)

3) С учетом (5) формулу (2) для вычисления дифференциала функции можно записать в виде . (6)

Из этого равенства вытекает, что . Следовательно, производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной .

Геометрический смысл дифференциала..

Пусть задана функция

, имеющая производную в точке

. Из существования производной следует, что

. Тогда

. Следовательно, дифференциал функции равен приращению ординаты касательной

, проведенной к кривой

в точке

при приращении аргумента

Свойства дифференциала функции.

Если и дифференцируемые функции, , то

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

Доказательство. В качестве примера докажем свойство 5.

Остальные свойства доказываются аналогично.

Производные высших порядков.

Как уже ранее отмечалось, если функция имеет производную в каждой точке некоторого промежутка , то сама производная является функцией независимой переменной . Если при этом функция дифференцируема,

т.е. существует производная , то ее называют второй производной функции . Рассуждая аналогично, получим .

Определение. Производной го порядка функции называется производная от производной го порядка.

Примеры.

1) .

Вторая производная от функции имеет определенный физический смысл. Если характеризует скорость изменения переменной , то величина задает ускорение.

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Дифференциальное исчисление является удобным аппаратом для исследования функций. В основе различных приложений лежат рассматриваемые ниже теоремы, которые также называют теоремами о среднем.

Теорема Ферма.

Теорема. Если функция определена на некотором промежутке , во внутренней точке этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение, и в этой точке существует конечная производная , то .

Доказательство. Положим, для определенности, что в точке функция принимает наибольшее значение: , тогда при любом или получим:

. Следовательно, при ,

а при . Поскольку, по условию теоремы, производная при существует, то, перейдя к пределу в неравенствах при , получаем:

при ; при .

Существование производной обусловливает тот факт, что левая и правая производные должны быть равны, а это возможно лишь в том случае, когда . Таким образом, из существования производной следует: .

Теорема имеет простое геометрическое содержание, а именно: если в точке

функция принимает наибольшее (наименьшее) значение и существует

, то

,следовательно, в этой точке угловой коэффициент касательной

. Тогда

касательная в этой точке параллельна оси OX.

Теорема Ролля.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на

интервале и , то существует по крайней мере одна точка , такая, что .

Доказательство. Так как функция определена и непрерывна на отрезке , то она принимает на этом промежутке свои наибольшее и наименьшее значения. При этом возможны следующие случаи:

1) . Тогда функция на всем отрезке – величина постоянная, т.е. . Следовательно, , и в качестве точки можно выбрать любую точку, принадлежащую интервалу .

2) . Тогда . Причем, поскольку из условия теоремы , то хотя бы одно из значений или функция принимает во внутренней точке промежутка . Тогда, по теореме Ферма, получаем: . Теорема доказана.

Геометрический смысл заключается в том, что при выполнении условий теоремы на графике функции найдется хотя бы одна точка, в которой касательная параллельна оси OX.

Заметим, что все условия теоремы существенны, и нарушение хотя бы одного из них делает теорему неверной. В качестве примера можно рассмотреть функцию

на отрезке (нарушено условие существования производной во внутренней точке ).

Теорема Лагранжа.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на

интервале , то существует по крайней мере одна точка такая, что

. (1)

Соотношение (1) называется формулой Лагранжа.

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что для функции

найдется хотя бы одна точка

, в которой касательная к графику функции будет параллельна хорде

Теорема Коши.

Данную теорему называют также теоремой о конечных приращениях.

Теорема. Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале и для , то существует по крайней мере одна точка такая, что .

Лекция 4.

Применение дифференциального исчисления для исследования функции одной переменной. Исследование функции с помощью первой производной.

Условия возрастания и убывания функций.

Напомним, что функция называется возрастающей (убывающей) на интервале , если из неравенства следует неравенство .

Теорема 1 (необходимый признак монотонности).

Пусть функция дифференцируема на интервале . Тогда:

1) Если возрастает на , то для .

2) Если убывает на , то для .

3) Если на , то для .

Доказательство. Пусть возрастает на . Придадим аргументу приращение так, что не выходит за пределы интервала , и рассмотрим отношение . Так как возрастает на , то

; .

И в одном, и в другом случае справедливо неравенство . Переходя к пределу при , получаем .

Доказательство пунктов 2 и 3 аналогично.

Теорема 2 (достаточный признак монотонности).

Пусть функция непрерывна на и дифференцируема на интервале . Тогда

1) Если для , то возрастает на .

2) Если для , то убывает на .

3) Если для , то на .

Доказательство.

1) Рассмотрим случай, когда для . Выберем произвольные и пусть . Заметим, что функция удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа. Тогда на промежутке найдется такая, что , или . Так как по условию теоремы и, кроме того, , то получаем, что , или . Следовательно, возрастает на .

Пункты 2 и 3 теоремы доказываются аналогично.

Геометрический смысл теоремы иллюстрирует рисунок:

Локальные экстремумы функции.

Определение.

1) Точка называется точкой локального максимума () функции , а число максимумом этой функции, если существует окрестность точки , такая, что для всякого из этой окрестности выполняется неравенство .

2) Точка называется точкой локального минимума () функции , а число минимумом этой функции, если существует окрестность точки , такая, что для всякого из этой окрестности выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума функции также называют точками экстремума данной функции. Функция может иметь несколько точек максимума и минимума на каком-либо отрезке.

Теорема 3. Если функция дифференцируема и имеет в точке экстремум, то .

Доказательство. Пусть в точке функция достигает максимума. Тогда, согласно определению, существует окрестность точки , в которой выполняется неравенство . Следовательно, наибольшее значение функции в данной окрестности. Тогда по

теореме Ферма .

В случае, когда наименьшее значение функции, доказательство аналогично.

Замечания.

1) Кроме точек, в которых , экстремум может достигаться в точках, где не существует (либо , либо не определена).

2) Сформулированное в теореме условие является необходимым, но не достаточным, т.е.

равенство нулю производной в точке

еще не означает, что

- точка экстремума. Примером может служить функция

. Но при

функция

экстремума не имеет.

С учетом доказанной теоремы и замечаний сформулируем необходимое условие экстремума:

если - точка экстремума функции , то или не существует.

Определение. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками I рода.

Теорема 4 (первое достаточное условие экстремума).

Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности критической точки и дифференцируема во всех точках этой окрестности кроме, быть может, самой точки . Тогда если при переходе через точку слева направо:

1) производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума;

2) производная меняет знак с минуса на плюс, то - точка минимума;

3) производная не меняет знака, то не является точкой экстремума.

Геометрический смысл теорем иллюстрирует рисунок.

При исследовании функций можно также использовать еще один, так называемый второйдостаточный признак экстремума, который мы приведем без доказательства.

Теорема 5. Пусть непрерывная функция дважды дифференцируема в критической точке и в некоторой ее окрестности. Тогда

1) если , то точка максимума функции;

2) если , то точка минимума функции;

3) если , то необходимо провести дополнительное исследование.

С учетом изложенного, при нахождении точек экстремума функции целесообразно придерживаться следующей схемы:

1) найти производную функции ;

2) найти критические точки I рода;

3) используя достаточные условия, проверить каждую критическую точку на существование экстремума.

Лекция 5.

Применение дифференциального исчисления для исследования функции одной переменной. Исследование функции с помощью второй производной.

Асимптоты графика функции.

Выпуклость и вогнутость кривой.

Определение.

1) Кривая называется выпуклой (выпуклой вверх) на интервале , если все точки кривой расположены ниже любой ее касательной на этом интервале.

2) Кривая называется вогнутой (выпуклой вниз) на интервале , если все точки кривой расположены выше любой ее касательной на этом интервале.

Теорема (достаточное условие выпуклости, вогнутости кривой).

1) Если функция дважды дифференцируема на интервале и во всех точках этого интервала , то кривая выпукла вверх при .

2) Если во всех точках этого интервала , то кривая вогнута на этом интервале.

Определение. Точкой перегиба кривой называется точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой.

Очевидно, что в точках перегиба касательная пересекает кривую, т.к. по одну сторону точки кривая лежит ниже касательной, а по другую – над ней.

Приведем достаточное условие существования точки перегиба.

Теорема 6. Пусть кривая задана уравнением . Тогда если или не существует, и при переходе через точку вторая производная меняет знак, то точка с координатами является точкой перегиба.

Замечание. Внутренние точки из области определения функции, в которых или не существует, называются критическими точками II рода.

Асимптоты кривой.

Определение. Прямая называется асимптотой кривой , если расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении точки от начала координат.

Различают вертикальные и наклонные асимптоты.