Теорема 2 (обратная)

Лекция 23. Применение производной к исследованию функций

1. Монотонность функции

 

Определение 1 Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором интервале, если в точках этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция y=f(x) называется возрастающей на интервале X, если для любого x выполняется

 

Согласно определению , значит,

Разность является приращением аргумента , а разность является приращением функции .

Приходим к заключению, что если функция возрастает,то .

Значит, отношение .

Так как функция f(x) дифференцируема нарассматриваемом интервале Х, то, переходя к пределу при , получим , а значит .

 

Определение 2 Функция y=f(x) называется убывающей на некотором интервале, если в точках этого интервала большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Функция y=f(x) называется убывающей на интервале X, если для любого x выполняется

 

Согласно определению , значит,

Разность является приращением аргумента , а разность является приращением функции .

Приходим к заключению, что если функция возрастает,то .

Значит, отношение .

Так как функция f(x) дифференцируема нарассматриваемом интервале Х, то, переходя к пределу при , получим , а значит .

 

Проще говоря, производная - скорость изменения функции. Если эта скорость положительна, то функция возрастает, если отрицательна - убывает.

Все вышеизложенное можно сформулировать как необходимый признак возрастания (убывания) функции.

 

Теорема 1.

Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает (убывает) на некотором интервале, то производная этой функции положительна (отрицательна) на этом интервале.

 

Теорема 2 (обратная).

Если производная функции y=f(x)  положительна (отрицательна) на некотором интервале, то функция в этом интервале монотонно возрастает (монотонно убывает).

 

Алгоритм нахождения интервалов монотонности функции.

1. Находят производную  данной функции

2. Приравнивают производную функции  к нулю и находят точки, в которых производная равна нулю. Кроме того, находят точки, в которых производная ее существует. Эти точки называются критическими для функции f(x)  

3. Найденными точками область определения функции f(x)  разбивается на интервалы, на каждом из которых производная  сохраняет свой знак. Эти интервалы являются интервалами монотонности.

4. Исследуют знак производной на каждом их найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале , то на этом интервале функция возрастает, если же , то на таком интервале функция убывает.

 

Пример 1.

Исследовать функцию  на монотонность.

Решение:

Найдем производную функции .
Это парабола, она существует для всех действительных x.

Найдем точки, в которых производная равна нулю.

Решим уравнение

 

Рассмотрим интервалы, на которые корни уравнения разбивают числовую прямую.

	(
f’(x)
f(x)	Возрастает	Убывает	Возрастает

Ответ: f(x)      , ,  f(x)       ,

2. Экстремумы функции

Определение 3.

Точка x=a называется точкой локального максимума функции f(x), если имеет место неравенство f(a)> f(x) для любого x из некоторой окрестности точки a.

Определение 4.

Точка x=a называется точкой локального минимума функции f(x), если имеет место неравенство f(a)< f(x) для любого x из некоторой окрестности точки a.

 

Точки локального минимума и максимума называются экстремумами функции.