Прямая линия на плоскости

а б

Рис. 17. Прямая линия на плоскости.

Пусть, как показано на рис.17 а, в фиксированной системе координат прямая линия пересекает ось ординат в точке B(0, b) под углом j. Выберем на прямой произвольную точку M(x,y), такая точка называется текущей. Проекции направленного отрезка BM на оси координат соответственно равны пр₁BM = х, пр_yBM = y-b. При скольжении точки M по прямой проекции изменяются, однако, их отношение, равное

tg j = (8)

сохраняется для всех точек нашей прямой и не выполняется для точек не принадлежащих прямой. Тангенс угла φ называется угловым коэффициентом и обозначается к. Выразив y, получим " уравнение прямой линии с угловым коэффициентом"

у = х tgj + b или у = кх + b, (9)

Если b = 0, то прямая проходит через начало координат. Если к = 0 то прямая проходит параллельно оси абсцисс и ее уравнение у = b.

Если вместо точки В дана другая фиксированная точка N(x₀,y₀) (см. рис. 17 б), то проводя аналогичные рассуждения легко получить "уравнение прямой, проходящей через данную точку"

k = tg j = или y – y₀ = k (x – x₀). (10,а)

Если известны две точки А(х_а,у_а) и В(х_b,у_b), лежащие на одной прямой, то уравнение имеет вид

(10,б)

Любое из уравнений (9, 10) можно привести к виду Ах + By + С = 0. Например, для уравнения (9) A =k, B = -1, C = b, т.е. прямая в прямоугольной системе координат может быть описана линейным уравнением первой степени.

Следовательно, уравнение Ах + Ву + С = 0 описывает только прямые линии на плоскости и называется общим уравнением прямой на плоскости.

Пример. Даны вершины треугольника А (-3,-3), В(2,7) и С (5,1). Требуется написать уравнения сторон треугольника, сделать чертеж.