Паркеты из произвольных фигур

Существует несколько способов построения паркетов из произвольных фигур.

Способ первый. Берем уже известный нам паркет из правильных треугольников, шестиугольников, квадратов, или из произвольных многоугольников, и выполняем преобразования: сжатие/растяжение, замена прямолинейных отрезков кривыми с началом и концом в тех же точках, что у отрезков. На рис. 30 показаны паркеты, полученные их деформированных 4-х и 6-угольников.

Рис. 30. Паркеты из деформированных правильных многоугольников.

Способ второй. Объединяем отдельные элементы уже существующих паркетов. Примеры: паркеты, полученные в результате объединения элементов квадратной сетки (рис. 31 а, б), паркет, каждый элемент которого получен в результате объединения пяти правильных треугольников (рис. 31 в)

а б в

Рис. 31. Паркеты полученные объединением элементов существующих паркетов.

Способ третий. Берем существующий паркет и дополняем новыми линиями. Получаем разбиение плоскости на фигуры, которые затем можно по-новому объединить. Например, накладываем друг на друга две (или более) сетки уже известных паркетов, смещая или поворачивая одну сетку относительно другой; фигуры, образовавшиеся при пересечении линий, считаем элементами паркета. Пример, трансформация сетки из греческих крестов, причем сами греческие кресты получены из паркета, состоящего из обычных квадратов (рис.32):

Рис. 32. Паркеты, полученные преобразованием сетки из греческих крестов

Паркеты могут быть получены с помощью параллельного переноса звездчатых многоугольников (рис. 33):

Паркет (роспись стен) из звездчатых многоугольников (замок Блуа, Франция).

Рис. 33. Паркеты из звездчатых многоугольников.Совмещая вершины звездчатых многоугольников, получаем паркеты, состоящие из правильных восьмиугольников, равнобедренных прямоугольных треугольников, а также из звездчатых 16-угольников, напоминающих мальтийский крест.

1.6.Мозаики Пенроуза

Рис. 34. Мозаика Пенроуза.

Английский математик Роджер Пенроуз придумал в 1973 году особенную мозаику из геометрических фигур (рис. 34,35).

Рис. 35. Мозаика Пенроуза в версии её создателя. Она собрана из ромбов двух типов, один – с углом 72 градуса, другой – с углом 36 градусов. Картина из неё получается симметричная, но не периодичная.

Называться она стала мозаикой Пенроуза. Мозаика Пенроуза представляет собой узор, собранный из двух немного различающихся ромбов, которыми можно замостить бесконечную плоскость без пробелов. Получающееся изображение выглядит так, будто является неким “ритмическим” орнаментом – картинкой, обладающей трансляционной симметрией (такой тип симметрии означает, что в узоре можно выбрать определённый кусочек, который можно повторять и совмещать, используя только преобразование сдвига), но это не так, трансляционная симметрия отсутствует, но есть ось симметрии. Мозаику можно поворачивать на минимальный угол, равный 360 / n градусам, где n – порядок симметрии, в данном случае n = 5. Следовательно, угол поворота, который ничего не меняет, кратен 360 / 5 = 72 градусам. В отличии от рассмотренных выше вариантов плоских паркетов - мозаик (кристаллов), данный вариант назвается квазикристаллами.

В 2007 году физик Питер Лу обратил внимание на узоры, покрывающие мечети в Азии, построенные ещё в Средневековье. Эти легко узнаваемые рисунки сделаны из мозаичной плитки. Они называются гирихи (от арабского слова “узел”) и представляют собой геометрический орнамент, характерный для исламского искусства и состоящий из многоугольных фигур. Долгое время считалось, что эти узоры создавались с помощью линейки и циркуля (рис. 36).

Рис. 36. Один из образцов выкладки плитки, показанный в арабском манускрипте XV века. Цветами исследователи выделили повторяющиеся области. На основе этих пяти элементов выстроены все геометрические узоры средневековых арабских мастеров, изученные Лу и Стейнхардтом. Как видите, повторяющиеся элементы не обязательно совпадают с границами плиток (иллюстрация Peter J. Lu).

а б

в г

Рис. 37. а - обложка Корана 1306-1315 годов и б - прорисовку геометрических фрагментов, на которых основан узор. Этот и следующий примеры не соответствуют решёткам Пенроуза, но обладают вращательной симметрией пятого порядка. в - индийская мечеть 1622 год и г – прорисовка геометрических фрагментов.

Ли обнаружил, что эти схемы практически одинаковы, и смог выделить основные элементы гирихов, использовавшихся во всех геометрических орнаментах. Кроме того, он нашёл чертежи этих изображений в старинных манускриптах, которыми древние художники пользовались в качестве своеобразной шпаргалки по украшению стен (рис. 37 - 40).

Рис. 38. На этих снимках выделены одинаковые области, хотя это и фотографии из самых разных мечетей (иллюстрация Peter J. Lu).

В исламской традиции существовал строгий запрет на изображение людей и животных, поэтому в оформлении зданий большую популярность приобрёл геометрический орнамент. Средневековые мастера умудрялись делать его разнообразным. Секрет был в использовании специальных мозаик, которые могут, оставаясь симметричными, заполнять плоскость, не повторяясь.Другой “фокус” таких изображений в том, что, “копируя” такие схемы в различных храмах по чертежам, художники неизбежно должны были бы допустить искажения. Но такие нарушения минимальны. Объясняется это только тем, что в масштабных чертежах смысла не была: главное – принцип, по которому строить картину.

Рис. 39. Фрагмент орнамента иранского мавзолея 1304 года. Справа – реконструкция гирихов (иллюстрация Peter J. Lu).

Рис. 40. Портал святилища имама Дарб-и в Исфахане (Иран). Здесь друг на друга наложены сразу две системы гирихов (фото K. Dudley, M. Elliff, иллюстрация Peter J. Lu).

Для сборки гирихов применяли плитки пяти видов (рис.36), которые в мозаике составлялись, прилегая друг к другу без свободного пространства между ними. Мозаики созданные из них, могли обладать как сразу вращательной и трансляционной симметрией, так и только вращательной симметрией пятого порядка (то есть являлись мозаиками Пенроуза). Исследование средневековых мусульманских построек показало, что появление подобной тенденции датируется XIII веком. Постепенно этот способ приобретал всё большую популярность и к XV веку стал широко распространённым. Образцом почти идеальной квазикристаллической структуры исследователи посчитали святилище имама Дарб-и в иранском городе Исфахане, датируемое 1453 годом (рис. 40).

Исскуство Эшера.

Голландский художник Мориц Корнилис Эшер, родившийся в 1898 году в Леувардене создал уникальные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей. Эшер интересовался всеми видами мозаик - регулярными и нерегулярными (нерегулярные мозаики образуют неповоряющиеся узоры) - а также ввел собственный вид, который назвал "метаморфозами", где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.

Эшер использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии называются симметрией, отражением, смещением (переносом) и др. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Эти искаженные образцы мозаик имели трех-, четырех- и шестинаправленную симметрию, таким образом сохраняя свойство заполнения плоскости без перекрытий и щелей (рис. 41 а, б).