Предел функции и его свойства

Пусть f(x) - функция непрерывного аргумента. Число A называется пределом функции   y = f(x) при x®x₀, если для каждого сколь угодно малого числа e >0 можно указать зависящее от e число d(e) > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству ½x₀-х½<d, имеет место неравенство ½A - f(x)½ < e. В формализованной форме это записывается так

                                                                                                   (6)

(читается: f(x) стремится к A при х стремящимся к х₀). Наличие у функции f(x) предела A в точке х₀ содержательно означает, что как только независимая переменная х достаточно близко приблизится к значению х₀, так функция f(x) будет сколь угодно близка к A.

Справедливы следующие свойства пределов.

1. Если предел функции существует, то он единственен.

2. Предел постоянной величины равен самой постоянной.

3. Если при х®x₀ существуют конечные пределы функций f(x) и g(x), то

, где а и b числа.

4.

5.

В качестве примера вычислим два предела.

Функция f(x) называется непрерывной  в точке х₀, если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности, а также

                                                                                         (7)

Точки, в которых равенство (7) не выполняется, называются точками разрыва функции.

Все элементарные функции, а также любая их комбинация непрерывны в своей области определения. На практике непрерывные функции часто называют "хорошими функциями".