Метод замены уравнения равносильным

1 2

Метод разложения на множители.

Уравнение f(x)g(x)h(x)=0

заменить совокупностью уравнений f(x)=0, g(x)=0, h(x)=0.

Необходима проверка корней.

Метод введения новой переменной.

Пусть g(x)=t, тогда уравнение p(g(x))=0 равносильно уравнению p(t)=0.

Метод замены уравнения равносильным.

1. При решении показательных уравнений:

уравнение a^f(x) = a^g(x) ( a >0, a≠1)

равносильно f(x) = g(x).

2. При решении логарифмических уравнений:

уравнение log_a f(x) = log_a g(x) (f(x)>0,g(x)>0, a>0,a≠1)

равносильно f (x)= g(x).

3. При решении иррациональных уравнений (можно применять, если функции монотонны): уравнение равносильно f(x) = g(x).

4. Функционально-графический метод. f(x)=g(x)

o построение графиков функций y=f(x) и y=g(x); определение абсцисс точек пересечения графиков.

o использование свойств функций: монотонности, наибольшего и наименьшего значений на промежутке Х.

Метод разложение на множители

Показательные уравнения

Логарифмические уравнения

Тригонометрические уравнения

Решить уравнение 1.Определим общий множитель – это переменная

2.Общий множитель вынесем за скобки

3. Получим уравнение

и приведем к виду a ^f(x) = a ^g(x) 4.

Ответ. 1

Решить уравнение

1.Определим общий множитель – это

2.Общий множитель вынесем за скобки

3.Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю

Ответ. 2; 3

Решить уравнение:

1.Определим общий множитель – это переменная

2.Общий множитель вынесем за скобки

3.Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю

Ответ.

Метод введения новой переменной.

Решить уравнение: Заменим

и получим квадратное уравнение

Подставим в уравнение

значения 3 и 1

Ответ: 0;1.

Решить уравнение:

Заменим

Получим квадратное уравнение

Подставим в уравнение

значения 3 и 1

Ответ: 2; 8.

Решить уравнение:

Заменим

Получим квадратное уравнение

Подставим в уравнение

значения 3 и 1

б)

Ответ:

Метод замены уравнения равносильным.
Показательные уравнения	Логарифмические уравнения	Тригонометрические уравнения
Теоремы равносильности Два уравнения называются *равносильными, если множества их корней совпадают (в том числе, уравнения, не имеющие корней, считаются равносильными). Теорема 1.* Если любое выражение, входящее в уравнение, заменить тождественно равным ему на области определения уравнения выражением, то получим уравнение, равносильное данному. Теорема 2. Если к обеим частям уравнения прибавить выражение, имеющее смысл на области определения уравнения, то получим уравнение, равносильное данному. Следствие. Если любое слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, поменяв его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному. Теорема 3. Если обе части уравнения умножить (разделить) на выражение, имеющее смысл и отличное от нуля на области определения уравнения, то получим уравнение, равносильное данному.
Уравнение (a >0, a≠1) равносильно f(x) = g(x). Пример. Уравнение преобразуем в уравнение равносильно уравнению Ответ. 1	Уравнение равносильно уравнению , где Пример. Уравнение равносильно уравнению Ответ. 4,5	Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью тригонометрических формул, сводятся к одному из нескольких типов, решаемые стандартными методами. Пример. Ответ.
	Уравнение log_a f(x) = log_a g(x) (f(x) > 0, g(x)>0, a>0, a≠1) равносильно f (x) = g(x). Пример. Проверка. Ответ. 4