Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В. Обозначается .

Объединением множеств А и В называется такое множество, каждый элемент которого содержится хотя бы в одном из множеств А или В. Обозначается .

Разностью двух множеств А и В называется множество, содержащее лишь те элементы из А, которые не входят в В. Обозначается .

Если множество В – подмножество множества А (), то разность называется дополнением к В в множестве А. Обозначается .

Дополнением множества А по отношению к универсальному множеству U есть множество , составленное из всех тех элементов U, которые не находятся в А:

Пример 2. Дано: а) , A = {1;3;4;5;9}, B = {2;4;5;10}. б) , A = [-3;3), B = (2;10].

Найти: A∩B, A∪B, A\B, B\A, .

Решение.

a) A∩B = {4;5}, A∪B = {1;2;3;4;5;9;10}, A \ B = {1;3;9}, B \ A = {2;10}, = Z \ B;

б) A∩B = (2;3), A∪B = [-3;10], A\B = [-3,2], B\A = [3,10],B Z\B = (-∞,2]∪(10,+∞).

Пример 3. Пусть А – множество различных букв в слове «математика», а В – множество различных букв в слове «стереометрия». Найти пересечение и объединение множеств А и В.

Решение.

А = { м, а, т, е, и, к } В = { с, т, е, р, о, м, и, я }

А∩В = { м, т, е, и } А ∪ В = { м, а, т, е, и, к, с, р, о, я }.

Для иллюстрации операций над множествами часто используются диаграммы Эйлера – Венна. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри него – кругов, представляющих множества.

• объединение А∪В • пересечение А∩В • разность А\В • дополнение A

Круги, которыми изображаются множества, называются кругами Эйлера.

Пример 3. В классе английский язык изучают 25 человек, а немецкий – 27 человек, причем 18 человек изучают одновременно английский и немецкий языки. Сколько человек в классе: а) изучают иностранные языки? б) изучают только английский язык? в) изучают только немецкий язык?

Решение.

А - множество школьников, изучающих английский язык, В – множество школьников, изучающих немецкий язык. Изобразим эту ситуацию с помощью диаграммы. Два языка изучают 18 школьников, поставим это число в пересечение множеств А и В. Английский язык изучают 25 человек, но среди них 18 человек изучают и немецкий язык, значит, только английский язык изучают 7 человек, укажем это число на диаграмме. Аналогично, только немецкий язык изучают 27 – 18 = 9 человек. Поместим и это число на диаграмму. По диаграмме получаем: а) 7 человек, б) 9 человек, в) 7 + 18 + 9 = 34 человека.