Проверка гипотезы о значении генеральной средней

Пусть из генеральной совокупности X, значения признака которой имеют нормальный закон распределения с параметрами N(μ,σ) при неизвестном математическом ожидании μ и известной дисперсии σ², взята случайная выборка объёмом n и вычислена выборочная средняя арифметическая , а μ₀ и μ₁ – определённые значения параметра μ. Для проверки нулевой гипотезы H₀: μ = μ₀ при конкурирующей гипотезе H₁: μ = μ₁ используют статистический критерий , который при выполнении нулевой гипотезы имеет нормированное нормальное распределение N(0;1).

Согласно требованию к критической области при μ₁ > μ₀ выбирают правостороннюю критическую область, при μ₁ < μ₀ – левостороннюю, а при конкурирующей гипотезе Н₁: μ = μ₁ ≠ μ₀ – двустороннюю критическую область.

Границы критической области t_кр определяют по интегральной функции Лапласа Ф(t) из условий:

1) в случае правосторонней и левосторонней критической областей

Ф(t_кр) = 1 – 2α,

где Ф(t_кр) = – интегральная функция Лапласа;

2) в случае двусторонней критической области

Ф(t_кр) = 1 – α.

Проверка гипотезы сводится к следующему: если |t_н| > t_кр, нулевая гипотеза H₀ отвергается с вероятностью ошибки α, если |t_н| ≤ t_кр, то делается вывод, что нулевая гипотеза не противоречит опытным данным.

При проверке гипотезы о значении генеральной средней H₀: μ = μ₀ при неизвестной генеральной дисперсии σ² используют статистический критерий , который при выполнении нулевой гипотезы H₀ имеет распределение Стьюдента (t-распределение) с k = n – 1 степенями свободы.

Границы критической области t_кр определяют по таблице t-распределения для заданного уровня значимости α (при двусторонней симметричной критической области) или 2α (при правосторонней и левосторонней критических областях) и числа степеней свободы k = n – 1.

Правила проверки гипотезы сводятся к следующему: если |t_н| ≤ t_кр, нулевая гипотеза H₀ не отвергается. В противном случае, если |t_н| > t_кр, нулевая гипотеза H₀ отвергается с вероятностью ошибки α.

Пример 1. В выборку попало 10 предприятий отрасли, по которым был проведён анализ производительности труда. Было установлено, что средний темп роста производительности труда по выборке составил 2,5% при среднем квадратическом отклонении 0,4. Проверить при уровне значимости α = 0,05 нулевую гипотезу о том, что средний темп роста производительности труда в генеральной совокупности составит μ₀ = 2,7%.

Решение. Поскольку генеральная дисперсия неизвестна, то при проверке нулевой гипотезы необходимо воспользоваться t-критерием, имеющим распределение Стьюдента с n – 1 = 10 – 1 = 9 степенями свободы.