Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних двух нормальных совокупностей

Сравнение средних величин двух и более генеральных совокупностей имеет важное практическое значение. Очень часто встречается случай, когда средний результат одной серии экспериментов отличается от среднего результата другой серии. При этом возникает вопрос, можно ли объяснить обнаруженное расхождение средних неизбежными случайными ошибками эксперимента или оно вызвано некоторыми закономерностями.

Пусть X и Y – нормальные генеральные совокупности с известными генеральными дисперсиями σ_x² и σ_y² и неизвестными математическими ожиданиями μ_x и μ_y . Из генеральных совокупностей взяты две независимые выборки объёмами n_x и n_y и вычислены выборочные средние арифметические и . Для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних H₀: μ_x = μ_y используют статистический критерий: , который при выполнении нулевой гипотезы имеет нормированный нормальный закон распределения N(0;1).

Выбор критической области зависит от содержания конкурирующей гипотезы H₁. Согласно требованию к критической области при H₁: μ_x > μ_y выбирают правостороннюю, при H₁: μ_x < μ_y – левостороннюю, а при             H₁: μ_x ≠ μ_y – двустороннюю критические области.

Границы критических областей при заданном уровне значимости α находят по интегральной функции Лапласа из условия Ф(t_кр) = 1 – 2α (для правосторонней и левосторонней критических областей) и условия      Ф(t_кр) = 1 – α (для двусторонней критической области).

Проверка гипотезы сводится к следующему: если |t_н| > t_кр, нулевая гипотеза H₀ отвергается с вероятностью ошибки α, если |t_н| ≤ t_кр, то делается вывод, что нулевая гипотеза не противоречит опытным данным.

При неизвестных генеральных дисперсиях либо требуется достаточно большой объём выборки для надёжной и точной оценки, либо требуется, чтобы эти дисперсии были одинаковы (σ_x² = σ_y²), в противном случае известные критерии малоэффективны.

Если из двух генеральных совокупностей взяты две случайные независимые выборки со средними значениями , и выборочными дисперсиями S_x², S_y², то для проверки гипотезы H₀: μ_x = μ_y используют статистику , имеющую распределение Стьюдента с k = n_x + n_y – 2 степенями свободы. Вид критической области зависит, как обычно, от конкурирующей гипотезы: при H₁: μ_x > μ_y выбирают правостороннюю, при H₁: μ_x < μ_y – левостороннюю, а при H₁: μ_x ≠ μ_y – двустороннюю критические области.

Границы критической области (t_кр) находят по таблице распределения Стьюдента при двусторонней симметричной критической области для заданного уровня значимости α, а при правосторонней и левосторонней критических областях при 2α и числе степеней свободы k = n_x + n_y – 2.

Правила проверки гипотезы H₀: μ_x = μ_y такие же, как у гипотезы            H₀: μ = μ₀. Гипотеза H₀ отвергается при |t_н| > t_кр.

Пример 2. По двум независимым случайным выборкам объёмом n₁ = 20 и n₂ = 12, извлечённым из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние = 836 и = 824. Дисперсии генеральных совокупностей известны: σ₁² = 150 и σ₂² = 102. На уровне значимости α = 0,01 проверить нулевую гипотезу H₀: μ₁ = μ₂ при конкурирующей гипотезе    H₁: μ₁ ≠ μ₂.

Решение. Для проверки нулевой гипотезы используем статистический критерий t-распределения. Его наблюдаемое значение составляет:

Критическое значение t-критерия для двусторонней критической области находим по таблице интегральной функции Лапласа из условия:

Ф(t_кр) = 1 – α = 1 – 0,01 = 0,99.

Отсюда t_кр = 2,58.

Поскольку t_н > t_кр (3 > 2,58), нулевая гипотеза отвергается, с вероятностью 99% мы не можем утверждать равенство генеральных средних.