Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

 

y''+py'+qy=f(x),где p и q – const

 

f(x)  неоднородное,  – общее решение неоднородного

 

f(x)=0 однородное  – общее решение соответствующего однородного

 

= +    где  – любое решение неоднородного уравнения

 

Общее решение однородного уравнения

y''+py'+qy=0

 – характеристическое уравнение

 

1)

2)

3)k=

Примеры. Найти общее решение линейного однородного уравнения

 1)

Шаг 1: составляем характеристическое уравнение:

Шаг 2: находим корни характеристического уравнения:

=3, =4. Здесь , случай 1,

Шаг 3: выписываем решение, формула (5).

2)

 

Здесь , = = -5, случай 2,  находим по формуле (6)

3)

     

Здесь случай 3, , , для  выбираем формулу (7)

4)

=0, =4, , случай 1), формула (5).

5)

      

=2, = -2, , случай 1), формула (5).

6)

  ,

Здесь случай 3, , , формула (7)

 

Метод неопределенных коэффициентов определения

1) f(x)=

 

l=

 

– многочлен той же степени, что и , но с неопределенными коэффициентами.

 

2) f(x)=

l=

Замечание 1.  – частный случай  первого типа при .

 (А – постоянная величина) – частный случай  первого типа, здесь =А – многочлен нулевой степени.

Замечание 2. Как записывается .

Обозначим неопределенные коэффициенты А, В, С, … Тогда , ,

, ,…

7) а) Найти общее решение уравнения y''-2y'= ( -x-3)    

1.Находим общее решение соответствующего однородного уравнения y''-2y'=0.

-2k=0 k(k-2)=0 =0 =2 = + C₂e^2x= + C₂e^2x

2. Анализируем правую часть уравнения и выписываем  с неопределенными коэффициентами в соответствии с формулами (8)

    f(x)= ( -x-3),  = 1 . -x-3= (x) (x)

= (x)= (A +Bx+C).

=  (A +Bx+C)+ (2Ax+B)=  (A +Bx+C+2Ax+B)

=  (A +Bx+C+2Ax+B)+ (2Ax+B+2A)= (A +Bx+C+4Ax+2B+2A)

Подставляем и   в левую часть исходного уравнения, общий множитель e^x выносим за скобки

(A +Bx+C+4Ax+2B+2A-2A -2Bx-2C-4Ax-2B)= ( -x-3)

Многочлен в левой части распишем по степеням x

(A-2A)+x(B+4A-2B-4A)+C+2B+2A-2C-2B= -x-3

Два многочлена могут быть равны тогда и только тогда, когда у них равны коэффициенты при одинаковых степенях x. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и левойчасти, получаем систему линейных уравнений для определения A, B и C

Итак, = (- +x+1)

= + = +C₂e^2x +  (- +x+1).

б)Найти частное решение исходного уравнения y_частн, удовлетворяющее заданным начальным условиям

y(0)=2 + +1=2 + =1

=2 + (- +x+1)+ (-2x+1)

y'(0)=2 2 +1+1=2 2 =0 =0 =1;                =1+ (- +x+1)

Примеры.

1)Найти общее решение уравнения y''- 4y'+4y=3 e^2x     

1.Находим общее решение соответствующего однородного уравнения y''-4y'+4y=0.

-4k+4= 0     = =2 =( x+ C₂) e^2x

2. Анализируем правую часть уравнения и выписываем  с неопределенными коэффициентами в соответствии с формулами (8)

    f(x)=3 e^2x ,   =2=k₁=k₂ l=2       3=P₀(x) Q₀(x)=A

= Ax²e^2x = 2 e^2x A +2Ax e^2x = e^2x  (2A +2Ax)

=2 e^2x  (2A + 2Ax)+ e^2x (4Ax+2A)=    e^2x (4A +8Ax+2A)

Подставляем и   в левую часть исходного уравнения, общий множитель e^2x выносим за скобки

e^2x (4A +8Ax+2A-8A -8Ax+ 4Ax²)= 3e^2x

Многочлен в левой части распишем по степеням x

(4A-8A+4A)+x(8A-8A)+2A=3 2A=3, A=1.5

Итак, =1.5x²e^2x; 

= + =( x+C₂) e^2x +1.5x²e^2x

2)Найти общее решение уравнения y''- 4y'+8y=sin2x    

1.Находим общее решение соответствующего однородного уравнения y''-4y'+8y=0.

-4k+8=0    k=  ,      =2, ,  =( cos2x+ C₂sin2x) e^2x

2. Анализируем правую часть уравнения и выписываем  с неопределенными коэффициентами в соответствии с формулами (9)

   f(x)=sin 2x, =0 =2,  +i =2i l=0

=      x⁰(Acos2x+Bsin2x)= Acos2x+Bsin2x,

= -2Asin2x+2Bcos2x, = -4Acos2x-4Bsin2x,

Подставляем и   в левую часть исходного уравнения

-4Acos2x-4Bsin2x+8Asin2x-8Bcos2x+8Acos2x+8Bsin2x=sin2x

Cos2x(4A-8B)+sin2x(8A+4B)=sin2x

Равенства вида Mcos x+Nsin x= Pcos x+Qsin x имеют место тогда и только тогда, когда коэффициенты при cos x и sin x  слева и справа соответственно равны, то есть

Таким образом, коэффициенты A и B – решения системы уравнений

A=0.1, B=0.05

= + =( cos2x+ C₂sin2x) e^2x+0.1cos2x+0.05sin2x

3)y''-2y'= ( -x-3)    

y''-2y'=0      -2k=0 k(k-2)=0 =0 =2 = + = +

f(x)= ( -x-3)     M=1

(x) (x)

= (x)= (A +Bx+C)

=  (A +Bx+C)+ (2Ax+B)=  (A +Bx+C+2Ax+B)

=  (A +Bx+C+2Ax+B)+ (2Ax+B+2A)= (A +Bx+C+4Ax+2B+2A)

(A +Bx+C+4Ax+2B+2A-2A -2Bx-2C-4Ax-2B)= ( -x-3)

(A-2A)+x(B+4A-2B-4A)+C+2B+2A-2C-2B= -x-3

= (- +x+1)             = + = + +  (- +x+1)

y(0)=2 = + +1 + =1

=2 + (- +x+1)+ (-2x+1)

y’(0)=2 2=2 +1+1 2 =0 =0 =1                 =1+ (- +x+1)

4)y”+9y=37

+9=0 =-9 =       = ( + )= +

f(x)= 37      M=-1 V=3 M+iV=-1+3i l=0

= (Acos3x+Bsin3x)= (Acos3x+Bsin3x)= (Acos3x+Bsin3x)

’=- (-Acos3x-Bsin3x-3Asin3x+3Bcos3x)+ (3Asin3x-3Bcos3x-9Acos3x-9Bsin3x)=-9Acos3x-9Bsin3x)

(-8Acos3x-8Bsin3x+6Asin3x-6Bcos3x+9Acos3x+9Bsin3x)= 37

cos3x(A-6B)+sin3x(B+6A)= 37

A=1 B=-6

=- (cos3x-6sin3x)

= + = cos3x+ sin3x+ (cos3x-6sin3x)

5) Найти общее решение уравнения

Характеристическое уравнение имеет вид , его корни = -1, = -2. Здесь , случай 1, решение однородного уравнения выписывается по формуле (5):

 – правая часть третьего типа,  определяется формулой (10).

Здесь  и ,  не является корнем характеристического уравнения .

– многочлен первой степени (m=1).

– многочлен нулевой степени (n=1).

В формуле (10)

,

,

.

Подставляя эти выражения в исходное уравнение, будем иметь

+ +

+

Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно  

Решая эту систему, найдем , , ,  и частное решение  запишется так:

.

Общее решение данного уравнения

+ .

6) Проинтегрировать уравнение .

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения

.

Характеристическое уравнение      имеет корни

Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется формулой

.

Переходим к отысканию частного решения исходного уравнения.

Так как в данном случае  (т.е. имеет вид  где , ) и  не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде

.

Найдя производные этой функции

и ,

и подставляя выражения для ,   в исходное уравнение, получаем

.

Так как  - решение уравнения, то последнее равенство выполняется для всех , т.е. является тождеством:

откуда  . Следовательно, частное решение имеет вид

.

Соответственно, общее решение

.

7) Решить уравнение

Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:

 

       Общее решение однородного уравнения:

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Частное решение имеет вид:

Общее решение линейного неоднородного уравнения:

8) Решить уравнение

Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f₁(x) + f₂(x) = x + (- sin x).

Составим и решим характеристическое уравнение:

1. Для функции f₁ (x) решение ищем в виде .

Получаем:  Т.е.

Итого:

2. Для функции f₂ (x) решение ищем в виде: .

Анализируя функцию f₂ (x), получаем:

       Таким образом,

Итого:

       Т.е. искомое частное решение имеет вид:

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения: