Непрерывность нормальной составляющей электрической индукции

Построим вблизи поверхности раздела диэлектриков S параллелепипед, основания которого параллельны этой поверхности (рис. 37). Высота параллелепипеда во много раз меньше размеров его основания.

n⁰1                                                                                                                                                      n                                                                             n0

                                                                                           

                                                                                                                                                         

 

                                                                                       nо                                                                                                                                                                      

                           и                                                                                                                               

         ℇ₂

                            ∆S₂                   n ⁰₂

 

Рис.37. Замкнутая поверхность  , охватывающая часть поверхности S, разделяющей два диэлектрика

      

Применим к поверхности параллелепипеда  постулат Максвелла:

 .

 

Здесь учтено, что на поверхности раздела диэлектриков нет свободного заряда (нуль в правой части) и поток сквозь боковую поверхность параллелепипеда пренебрежимо мал по сравнению с потоком сквозь его основания вследствие достаточно малой высоты параллелепипеда. Если основания параллелепипеда достаточно малы, так что изменением электрической индукции на них можно пренебречь, то  

 = D₁ ^. n⁰₁   ∆S₁ + D₂ ^. n⁰₂ ∆S₂ =

∆S =0.

 

В последнем выражении учтено, что площади оснований параллелепипеда одинаковы, ∆S₁=∆S₂=∆S, и взяты проекции электрической индукции на нормаль n⁰ к поверхности раздела сред (n ⁰₂ =- n ⁰). Таким образом, нормальная составляющая электрической индукции непрерывна на границе раздела диэлектриков,

                                                (11)

 

Выразим электрическую индукцию через напряженность электрического поля: ε ₁Е₁_n= ε ₂Е₂_n, или

=

 

 

Если ε₁ > ε₂, то < (рис. 38). При переходе через поверхность раздела диэлектриков нормальная составляющая вектора напряженности электрического поля изменяется скачком.

                                                            E₁
                             ℇ ₁              D₁ _n

                                  E ₂_ℓ    D ₂_ℓ                           D ₁                                                                   

                                                                    D ₂_n   D ₁_ℓ              E₁ _ℓ

                                                        D ₂                    ℇ₂

                                            E ₂          E ₂

 

 

Рис. 38. Векторы E и D в одной точке по обе стороны поверхности раздела диэлектриков (ε₁=2 ε₂).

 

§ 6. Измерение электрической индукции

 Материальное уравнение D=D(E) введено в систему уравненийэлектростатического поля в диэлектрике ( §3). Если не предусмотрен способ измерения электрической индукции и напряженности электрического поля в твердом диэлектрике, то установить зависимость D(E) практически невозможно и система уравнений оказывается практически бесполезной. Измерение напряженности электрического поля и электрической индукции в воздухе затруднений не вызывает. Закон Кулона предоставляет практические возможности для измерения электрического заряда и напряженности, а D =ε0 E. На практике используются более удобные способы измерения заряда и напряженности, чем применение закона Кулона.

 Сначала рассмотрим плоский конденсатор, между пластинами которого находится диэлектрик (рис. 39). Электрическое поле внутри конденсатора однородно и создается четырьмя слоями зарядов плотности +σ, (-σсв), +σ св  и (-σ), если считать слева направо. Если диэлектрик плотно прилегает к пластинам конденсатора, то эти четыре слоя эквивалентны двум слоям зарядов плотности (σ - σсв) и (-σ + σсв). С помощью теоремы Гаусса легко вычисляется напряженность электрического поля между пластинами конденсатора

Поле электрической индукции возбуждается только свободным зарядом, с помощью постулата Максвелла получается, что D=σ. Поляризация диэлектрика Р=D- E= .

+

-

                           +σ                             -σ

                                     P                                                                                                                                                                        

ℇ

                        +                                     -

D

E

                              + q                            u - q

Рис. 39. Электрическое поле в диэлектрике между пластинами плоского конденсатора

Благодаря однородности электрического поля внутри конденсатора и равномерному распределению заряда на его пластинах легко определить напряженность и электрическую индукцию в диэлектрике

Е = , D = ,

измерив, напряжение между пластинами конденсатора и их заряд q (h - расстояние между пластинами, S -площадь пластины). Для линейного диэлектрика достаточно выполнить один опыт, чтобы определить его диэлектрическую проницаемость

ε = .

Для нелинейного диэлектрика нужно выполнить серию опытов, чтобы установить зависимость D(E).

Теперь рассмотрим универсальные способы измерения напряженности электрического поля и электрической индукции в твердом диэлектрике (по-прежнему на примере плоского конденсатора, чтобы не усложнять описание условий опыта). Для измерения напряженности в диэлектрике сделана воздушная полость в виде длинного тонкого цилиндра в направлении вектора поляризации (рис. 40). Напряженность электрического поля в полости такая же, как и в диэлектрике. Полость вследствие незначительности своих поперечных размеров практически не искажает электрического поля, а вследствие непрерывности касательной (в данном случае продольной по отношению к цилиндрической полости) составляющей напряженности и отсутствия поперечной составляющей напряженности она проникает в полость из диэлектрика без изменений. Величина напряженности по-прежнему равна E=u/h. Итак, чтобы измерить напряженность электрического поля в диэлектрике, нужно сделать в нем тонкую цилиндрическую воздушную полость в направлении вектора поляризации и измерить напряженность в этой полости.

 

                                                             

 

 

                                                                     E

                                                                   Eпол= Е

                                                                        

                                   +q                                - q

 

                                                                                                                                     //////////////////////////////////////////////////////u

                                                     

Рис. 40. Воздушная полость в диэлектрике для измерения напряженности электрического поля

Для измерения электрической индукции в диэлектрике сделана воздушная полость в виде тонкого диска (короткого широкого цилиндра), основания которого перпендикулярны вектору поляризации (рис. 41). Электрическая индукция в полости такая же, как и в диэлектрике. Во - первых, полость практически не искажает электрического поля, так как связанные заряды, выступившие на ее плоских поверхностях, образуют конденсатор маленького размера, электрическое поле которого практически локализовано между поверхностями. Во- вторых, вследствие непрерывности нормальной (в данном случае поперечной по отношению к диску) составляющей электрической индукции она проникает в полость из диэлектрика без изменений. Измерив в полости напряженность электрического поля, можно вычислить в ней электрическую индукцию D= E (в полости поляризация P= 0). Таким образом, чтобы определить электрическую индукцию в диэлектрике, нужно сделать в нем тонкую дискообразную воздушную полость, плоскость которой перпендикулярна вектору поляризации в окрестности точки наблюдения, и измерить напряженность электрического поля в этой полости.

 

 

                                                                     

 

                                                                 D пол= D

                       +q                                -q

                                                            

                                            u             

Рис. 41. Воздушная полость в диэлектрике для изменения электрической индукции

В сложной ситуации направление вектора поляризации P в точке наблюдения неизвестно. Приходится делать несколько опытов, изменяя положение полостей в пространстве, прежде чем удастся определить направление вектора P.