2020-04-12
1064
Предикаты, так же, как и высказывания, принимают два значения «истина» и
«ложь» (1 и 0), поэтому к ним применимы все операции алгебры логики. Пусть на некотором множестве M определены два предиката P (x) и Q (x).
Определение. Конъюнкцией двух предикатов P (x) и Q (x) называется предикат P(x)˄Q(x), который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях х∈ М, при которых каждый из предикатов принимает значение
«истина» и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях. Областью истинности предиката P (x)˄ Q (x) является пересечение областей истинности обоих предикатов, то есть IP˄Q=IP∩IQ.
Пример 13.
P (x) – «x – четное число», Q (x) – «x кратно 3». Предикат P (x)˄ Q (x): «x – четное число и x кратно 3» = «x делится на 6».
Определение. Дизъюнкцией двух предикатов P (x) и Q (x) называется предикат P(x)˅Q(x) который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях, при которых каждый из предикатов принимает значение
«ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях. Областью истинности предиката P (x)˅ Q (x) является объединение областей истинности обоих предикатов, то есть IP˅Q=IP∪IQ.
Определение. Отрицанием предиката P (x) называется предикат
̅𝑷̅̅(̅𝒙̅̅),
который принимает значение «истина» при всех значениях х∈ М, при которых предикат P (x) принимает значение «ложь», и принимает значение
«ложь» при тех значениях х∈ М, при которых предикат P (x) принимает значение «истина».
Областью истинности предиката
̅𝑃̅̅(̅𝑥̅̅)
является дополнение множества
истинности предиката P (x) до множества M, то есть IP̅ = M\IP = CIP.
Определение. Импликацией предикатов P (x) и Q (x) называется предикат P(x)→Q(x), который является ложным при тех и только тех значениях х∈ М, при которых одновременно P (x) принимает значение «истина», а Q (x) принимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях. Так как при каждом фиксированном x справедлива
равносильность P (x)→ Q (x)≡ 𝑃̅̅̅(̅𝑥̅̅)˅ Q (x), то область истинности предиката P (x)→ Q (x), является объединением дополнения области истинности предиката P (x) до множества M и области истинности предиката Q (x), то есть IP→Q=IP̅ ∪IQ.
Определение. Эквиваленцией предикатов P (x) и Q (x) называется предикат P(x)↔Q(x), который превращается в истинное высказывание при всех х∈ М, при которых одновременно P (x) и Q (x) принимают одинаковые значения истинности. Так как при каждом фиксированном x справедлива равносильность P (x)↔ Q (x)≡ (̅P⋁Q) ∧ (P ∨ Q̅) то область истинности предиката P (x)↔ Q (x), является коньюнкцией объединений дополнения
области истинности предиката P (x) до множества M и области истинности предиката Q (x), и дополнения области истинности предиката Q (x) до множества M и области истинности предиката P (x) то есть IP↔Q=(IP̅ ∪IQ)∩ (IQ̅ ∪IP)
Пример 14.
Даны два предиката P: «5х-6<3х»;
Q: «2<х≤8»
Найти множества истинности предикатов:
P (x)→ Q (x), P (x)↔ Q (x).
Решение:
Нужно найти а) IP̅
б) I𝑄̅
в) IP˅Q г) IP˄Q д) IP→Q е) IP⟺Q
̅𝑃̅̅(̅𝑥̅̅),
̅𝑄̅̅(̅̅𝑥̅̅), P (x)˄ Q (x), P (x)˅ Q (x),
| P: «5х-6<3х»; | uP=(-∞; ∞) | IP=(-∞; 3) | |
| Q: «2<х≤8» а) | uQ=(-∞; ∞) | IP | IQ=(2; 8] |
3
IP̅ =[3; ∞)
3
| 2 |
| 8 |
I𝑄̅ = (-∞; 2] ∪(8; ∞)
2 8
в) IP
3
2 8
2 3 8
2 3 8
IQ
IP˅Q =(-∞; 8]
г) IP
3
2 8
2 3 8
2 3 8
д) P→Q=̅P⋁Q
3
2 8
2 3 8
2 3 8
|
2 3 8
IQ
IP˄Q =(2; 3)
IP̅
IQ
IP→Q =(2; ∞)
IP̅∨Q (из предыдущего примера) IP
IQ̅
IP∨Q̅
IP⟺Q =(2; 3) ∪ (8; ∞)
Домашнее задание:
1. идентифицировать предикат (определить, является ли данное предложение предикатом или нет):
a) «Все кошки хорошо видят в темноте»
b) «х-9<16»
c) «у=3х-6»
2. Определите множество истинности для каждого предиката.
