Операции над кванторами

Для построения отрицания высказываний, которые содержат кванторы, применяется правило отрицания кванторов:

̅(̅∀̅̅х̅)̅̅𝑃̅̅(̅𝑥̅̅) = (∃𝑥)̅𝑃̅̅(̅𝑥̅̅)

̅(̅∃̅̅х̅)̅𝑃̅̅(̅̅𝑥̅̅) = (∀𝑥)̅𝑃̅̅(̅𝑥̅̅)

 

Пример 21

Рассмотрим на множестве Х = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …,9} предикат А(х): «х –

натуральное число». Его отрицанием является предикат

̅𝐴̅̅(̅𝑥̅̅), областью

определения которого является то же множество Х и который истинен для тех и только тех х из множества Х, для которых предикат А(х) ложен. Отрицанием данного предиката является предикат̅𝐴̅̅(̅𝑥̅̅): «х – не натуральное число». Множество истинности его состоит из чисел составляющих дополнение к множеству истинности предиката А(х) в множестве Х.

I𝐴 = { 1, 2, 3, 4, 5, …,9}

IA̅  = {−2, −1, 0}

Пример 22.

На множестве Х = {-2, -1, 0, 1, 2, …, 10} заданы предикаты А(х): «2 х - 1 < 3» и В(х): «х + 2 х = 0».

Получить предикат 𝐴(𝑥) ∧ ̅𝐵̅̅(̅𝑥̅̅)

Решение:

Образуем предикат вида 𝐴(𝑥) ∧ ̅𝐵̅̅(̅𝑥̅̅). В нашем примере его словесное выражение таково: «2 х - 1 < 3 и неверно, что х + 2 х = 0».

Найдем множество истинности этого составного предиката. Для этого:

1. Находим множество истинности предикатов А(х) и В(х). Имеем соответственно, что I _А = {-2, -1, 0, 1},а I _В = {0}.

2. Находим множество истинности предиката

̅𝐵̅̅(̅𝑥̅̅), который является

отрицанием предиката В(х) и, следовательно, его множество истинности является дополнением к множеству {0} в множестве Х.

Таким образом, IB̅  ={-2, -1, 1, 2, 3, …, 10}.

3. Находим множество истинности конъюнкции предикатов А(х) и̅𝐵̅̅(̅𝑥̅̅), являющееся пересечением I _А и IB̅  .

Имеем, что IA˄B̅= I _А ∩ IB̅  = {-2. -1, 0, 1} ∩ {-2, -1, 1, 2, 3, …, 10} = {-2, -1, 1}.

Домашнее задание:

Придумайте самостоятельно предикаты P(x), Q(x), A(x), B(x), C(x). Используя операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции предикатов, и операции над кванторами, постройте составные предикаты:

1.   ∀𝑥(̅̅𝑃̅̅(̅𝑥̅̅)̅̅∨̅̅𝑄̅̅(̅̅𝑥̅)̅̅)

2.   ̅∃̅𝑥̅̅(̅𝑃̅̅(̅̅𝑥̅)̅̅∧̅̅̅𝑄̅̅(̅𝑥̅̅)̅̅)

3.   ∃𝑥(̅̅𝑃̅̅(̅𝑥̅̅)̅̅→̅̅̅𝑄̅̅(̅̅𝑥̅)̅̅)

4. 𝐴(𝑥) ∨ 𝐶(𝑥) ∧ ̅𝐵̅̅(̅𝑥̅̅)

5.   ̅𝐴̅(̅̅𝑥̅̅)̅∧̅̅̅𝐵̅̅(̅𝑥̅̅)̅̅∨̅̅̅𝐶̅̅(̅𝑥̅̅)

 

 

Контрольные вопросы:

1) Что называется предикатом?

2) Что называется множеством истинности предиката?

3) Приведите пример одноместного предиката, двухместного предиката.

4) Какой предикат называется тождественно истинным? Приведите пример.

5) Какой предикат называется тождественно ложным? Приведите пример.

6) Какой предикат называется выполнимым? Приведите пример.

7) Что называется областью определения предиката?

8) Что называется множеством истинности предиката?

9) Какие предикаты называются равносильными?

10) Какие логические операции определены над предикатом?

11) Что называется квантором? Какие вы знаете кванторы?

12) Как кванторы применяются к предикатам?

Приложение 1. Задания к практической работе по теме «Предикаты. Выполнение операций над предикатами.»

Вариант № 1.

Задание 1. Идентифицируйте следующие предложения: 1) «х² – 4 = 0»;

2) «п ⋮ 4»;

3) «2 ∙ 2 = 4»

4) ∀х (𝑥² + х + 1 < 0);

5) ∃х (х + 5 = 2х − 3)

Для предикатов найдите область определения и множество истинности.

Задание 2 Найдите uP, uQ, IP, IQ.

P(x) = «х²+4х+3<0»

Q(x)= «cos 𝑥 ≥ 1»

2

Задание 3.  Дано IP, IQ. Найти  𝐼𝑃̅, 𝐼𝑄̅, IP˅Q, IP˄Q, IP→Q, IP↔Q

I_Q=(0; 6)

IP=(-8; ∞)

Задание 4. Заданы предикаты Р(х) = «х – нечётное число», Q(х) = «х делится на 4». Сформулируйте высказывания:

 

 

Найдите отрицания этих формул.

 

 

∀𝑥(𝑃(х) → 𝑄(х))

∀х(𝑃(𝑥)Ù𝑄(𝑥))

 

Вариант № 2.

Задание 1. Идентифицируйте следующие предложения:

1) «при х = 2 выполняется равенство х² – 2 = 1»; 1) «х² – 2х + 1 = 0»;

2) «х² + y²<0»

3) ∃х (𝑥² + х − 2 ≥ 0)

4) ∀х (х + 2 = 3х − 6).

Для предикатов найдите область определения и множество истинности.

Задание 2. Найдите uP, uQ, IP, IQ.

P(x) = «х-5>2x-3»

Q(x)= «^𝑥−5 > 0»

𝑥−1

Задание 3.  Дано IP, IQ. Найти  𝐼𝑃̅, 𝐼𝑄̅, IP˅Q, IP˄Q, IP→Q, IP↔Q I_Q=(-3; 2)

I_P=(0; 10)

Задание 4. Заданы предикаты Р(х) = «х – нечётное число», Q(х) = «х делится на 4» Сформулируйте высказывания:

∃𝑥∀𝑦(𝑃(𝑥)Ù𝑄(𝑦))

∃𝑥(𝑃(х) → 𝑄(х))

Найдите отрицания этих формул.

Вариант № 3.

Задание 1. Идентифицируйте следующие предложения: 1) «n⋮ 5»;

1) «(a + b)²< 0»;

2) «при у = -1, у² – 1 = 0»;

3) ∃х (𝑥² + 2х + 1 = 0);

4) ∀х (х − 7 ≤ 2х + 5).

Для предикатов найдите область определения и множество истинности.

 

Задание 2. Найдите uP, uQ, IP, IQ.

P(x) = «х²-2x+4≥0»

Q(x)= «sin 𝑥 > 1»

2

Задание 3.  Дано IP, IQ. Найти  𝐼𝑃̅, 𝐼𝑄̅, IP˅Q, IP˄Q, IP→Q, IP↔Q

IQ=(-10; ∞)

I_P=(6; 8]

Задание 4. Заданы предикаты Р(х) = «х – нечётное число», Q(х) = «х делится на 4» Сформулируйте высказывания:

∀𝑥(𝑃(х) ↔ 𝑄(х))

∃х(𝑃(𝑥)Ú𝑄(𝑥))

Найдите отрицания этих формул.

 

Вариант № 4.

Задание 1. Идентифицируйте следующие предложения:

1) ««при х = 1, 3х – 2 = -1»;

2) «2х +5 ≥ 3х - 4»;

3) «х²+ 4x +4 = 0»;

4) ∀х (𝑥² + 2х + 1 = 0);

5) ∃х (3х + 4 > 4х − 3).

Для предикатов найдите область определения и множество истинности.

 

Задание 2. Найдите uP, uQ, IP, IQ.

P(x) = «𝑥³ < 8»

𝑥

Q(x)= «x+8<4x»

Задание 3. Дано IP, IQ. Найти 𝐼𝑃̅, 𝐼𝑄̅, IP˅Q, IP˄Q, IP→Q, IP↔Q I_Q=[6; 11]

IP=[2; ∞)

Задание 4. Заданы предикаты Р(х) = «х – нечётное число», Q(х) = «х делится на 4» Сформулируйте высказывания:

∃х∀𝑦(𝑃(𝑦)Ù 𝑄(𝑥)

∀х(𝑃(𝑥)Ù𝑄(𝑥))

Найдите отрицания этих формул.

Вариант № 5.

Задание 1. Идентифицируйте следующие предложения:

1) «|−7| = 7»;

2) «2х +5 ≥ 3х - 4»;

3) «2 · (6x-1)<20»;

4) ∀х (𝑥² + 2х + 1 = 0);

5) ∃х (3х + 4 > 4х − 3).

Для предикатов найдите область определения и множество истинности.

 

Задание 2. Найдите uP, uQ, IP, IQ.

P(x) = «4x+6≤ 3 − 9𝑥»

Q(x)= «√𝑥 ≥ 10»

Задание 3.  Дано IP, IQ. Найти  𝐼𝑃̅, 𝐼𝑄̅, IP˅Q, IP˄Q, IP→Q, IP↔Q I_Q=[-2; 0]

IP=[6; ∞)

Задание 4. Заданы предикаты Р(х) = «х – нечётное число», Q(х) = «х делится на 4»: Сформулируйте высказывания:

 

 

Найдите отрицания этих формул.

∀𝑥∃𝑦(𝑃(𝑥)Ú 𝑄(𝑦))

∃𝑥(𝑃(х) ↔ 𝑄(х))

 

Вариант № 6.

Задание 1. Идентифицируйте следующие предложения: 1) «|−7𝑥| > 7»;

2) «√𝑥² + у² ≥ 0»

3) «10⋮ 5»;

4) ∀х (𝑥² + 2х + 1 = 0)

5) ∃х (3х + 4 > 4х − 3).

Для предикатов найдите область определения и множество истинности.

 

Задание 2. Найдите uP, uQ, IP, IQ.

P(x) = «¹

𝑥2

≤ 16»

Q(x)= «2x-3≥3x»

Задание 3. Дано IP, IQ. Найти 𝐼𝑃̅, 𝐼𝑄̅, IP˅Q, IP˄Q, IP→Q, IP↔Q I_Q=[-3; 3]

IP=(-∞; 10)

Задание 4. Заданы предикаты Р(х) = «х – нечётное число», Q(х) = «х делится на 4» Сформулируйте высказывания:

 

 

Найдите отрицания этих формул.

∀𝑥∃𝑦(𝑃(𝑥) → 𝑄(𝑦))

 

 

∃х(𝑃(𝑥)Ù𝑄(𝑥))