Решение систем линейных уравнений методом Крамера

 

Для решения систем линейных уравнений с большим количеством уравнений применяют метод Гаусса. Если же уравнений в системе не так много, то удобнее использовать метод Крамера. Этот метод основан на вычислении определителей.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

 

Составим определитель матрицы системы:

 

Заменим в определителе D первый столбик, соответствующий переменной х₁, на столбец свободных членов b₁, b₂, …,b_n, получим определитель D_х1:

 

 

 

Заменим в определителе D второй столбик, соответствующий переменной х₂, на столбец свободных членов b₁, b₂, …,b_n, получим определитель D_х2:

 

 

Аналогично поступаем с третьим, четвертым, …, n –ым столбцами определителя D. В итоге получим n+1 определитель. Для того, чтобы найти неизвестные х₁, х₂, …, х_n используем формулы Крамера:

,  , …,

 

При вычислении определителей могут возникнуть следующие случаи:

· если определитель матрицы системы D отличен от 0, то система линейных уравнений имеет единственное решение;

· если определитель матрицы системы D равен 0, а среди определителей         D_х1, D_х2, …, D_хn есть хотя один отличный от 0, то система линейных уравнений не имеет решений;

· если определитель матрицы системы D равен 0 и все определители                D_х1, D_х2, …, D_хn равны 0, то система линейных уравнений имеет бесконечно много решений.

 

 

Пример 3.

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

 

Выпишем определитель матрицы системы D и вычислим его:

 

 

Так как D 0, то система имеет единственное решение.

Заменим в определителе D первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим D_х:

 

 

Заменим в определителе D второй столбик на столбец свободных коэффициентов, получим D_у:

 

 

Найдем значения переменных х и у по формулам Крамера:

 

,  

Ответ: (-3;1)

 

Пример 4.

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

 

 

Выпишем определитель матрицы системы D и вычислим его:

 

 

Так как D 0, то система имеет единственное решение.

Заменим в определителе D первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим D_х:

 

 

Заменим в определителе D первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим D_у:

 

 

Заменим в определителе D первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим D_z:

 

Найдем значения переменных х, у и z по формулам Крамера:

,   ,

 

Ответ: (-1; 1; -2)

 

 Задания для самостоятельного решения.

Решить систему линейных уравнений методом Крамера

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса