Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Лекция. Понятие системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Метод Крамера.

Записать конспект, решить задания. Сдать до 30.03.20

Понятие системы линейных уравнений.

Определение 1. Системой линейных уравнений, содержащей          m уравнений и n неизвестных, называется система вида

 

где числа a_ij – называются коэффициентами системы, числа               b_ij – свободными членами.

 

Определение 2. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

 

Определение 3. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

 

В последенем случае каждое решение системы называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

 

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если совместна, найти ее общее решение.

Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

 

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:

 

 

Матрица А = , составленная из коэффициентов при неизвестных х_i (i = 1,2,…n), называется матрицей системы.

 

Матрица B = , составленная из коэффициентов при неизвестных и свободных членов, называется расширенной матрицей.

 

Определение 4. Матрица А называется матрицей треугольного вида, если все ее элементы выше (ниже) главной диагонали равны нулю.

 

Например, А =     или В =  - матрицы треугольного вида.

Метод Гаусса удобно использовать при решении систем с большим количеством уравнений. Этот метод заключается в последоваетльном исключении неизвестных. Систему линейных уравнений приводят к системе с треугольной матрицей с помощью эквивалентных преобразований. Затем из полученной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок.

 

К эквивалентным преобразованиям относят следующие:

· умножение и деление коэффициентов и свободных членов на одно и тоже число, отличное от нуля.

· Сложение и вычитание уравнений.

· Перестановка уравнений.

· Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты равны нулю.

 

Пример 1

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

 

Выпишем расширенную матрицу системы:

 

 

 

Для упрощения вычислений поменяем первую и вторую строки местами:

 

 

Умножим первую строку на –3 и сложим ее со второй строкой. Первую строку умножим на –4 и сложим с третьей сторокой, получим эквивалентную матрицу:

 

 

Умножим вторую строку на –1:

 

 

Умножим вторую строку на 5 и сложим с третьей строкой:

 

 

Разделим третью строку на –11:

 

Получили матрицу треугольного вида (все элементы ниже главной диагонали равны нулю). Выпишем систему уравнений треугольного вида:

 

                

 

Ответ: х = -1, у = 3, z = 2