МАТЕМАТИКА
Группа 85 «Автомеханик»
Практическое занятие
Тема 87: «Равносильность неравенств»
Цели:
- систематизировать, обобщить знания и умения по теме «Неравенства»;
- развивать умение наблюдать, обобщать, классифицировать, анализировать математические ситуации.
Продолжительность занятия - 1 час
Оборудование: карточки с заданиями, чертежные инструменты, ручка, тетрадь
Краткие теоретические сведения:
Краткое обсуждение тех теоретических знаний, которыми они обладают и пользуются при решении неравенств.
Решить неравенство − это означает найти все его решения или доказать, что их нет. Совокупность всех решений неравенства называется множеством решений неравенства.
Два неравенства, f (x) < g (x) и f1 (x) < g1 (x), называются равносильными на множестве X, если на этом множестве неравенства имеют одни и те же решения, то есть, если каждое решение неравенства (2) является решением неравенства (3), и наоборот, каждое решение второго неравенства является решением первого. Два неравенства, не имеющие решений на каком-либо множестве, также считаются равносильными на этом множестве.
|
|
Из приведённого определения следует, что если неравенство f1 (x) < g1 (x) окажется более простым, чем равносильное ему неравенство f (x) < g (x), то и решать нужно именно его, так как решения у него те же. Остаётся единственная проблема: как от неравенства (2) перейти к равносильному ему неравенству (3) или, как говорят, осуществить равносильный переход? Сформулируем несколько общих правил, позволяющих это делать.
Правило 1. Если функции f (x), g (x) и h (x) определены на множестве X, то неравенства
f (x) > g (x) и f (x) + h (x) > g (x) + h (x) |
равносильны на этом множестве.
Правило 2. Если h (x) > 0 на множестве X, то неравенства
равносильны на этом множестве.
Вывод. Обе части неравенства можно умножать на положительную функцию, не нарушая равносильности.
Правило 3. Если h (x) < 0 на множестве X, то неравенства
равносильны на этом множестве.
Вывод. Обе части неравенства можно умножать на отрицательную функцию, не нарушая равносильности, меняя при этом знак неравенства на противоположный.
Правило 4. Если f (x) ≥ 0, g (x) ≥ 0 на множестве X, то неравенства
равносильны на этом множестве.
Вывод. Если обе части неравенства неотрицательны, то возведение в квадрат неравенства не нарушает равносильности. Заметим, что возводить неравенство в квадрат можно, только если обе части этого неравенства неотрицательны. Если хотя бы одна из частей неравенства отрицательна, возведение неравенства в квадрат, вообще говоря, не является равносильным преобразованием. Яснее всего это видно на примере числовых неравенств. Так, если верное неравенство −1 > −4 возвести в квадрат, то получится неверное неравенство 1 > 16. Такое противоречие вызвано именно тем, что части первоначального неравенства не были неотрицательными.
|
|
Задания для практической работы
Вариант 1
1. Выяснить равносильны ли неравенства:
х + 7 >0 и 3(x – 5) < 1 – 4x
2. Решить неравенство
а)
б) < х+2
в) >
3. Решить уравнение
+ = 4
Вариант 2
1. Выяснить равносильны ли неравенства:
х – 9 <0 и 3x – 2 >4(x – 2) – 3
2. Решить неравенство
а)
б) > х+2
в) ≤
3. Решить уравнение
- = 1
Домашнее задание:
Оформить отчет по практической работе
Список литературы:
Алгебра и начала математического анализа, автор Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева, учебник для общеобразовательных организаций, базовый и углубленный уровни, 5 издание, Москва «Просвещение», 2019г.
Преподаватель - Брыкало А.А., brukalo_aa@mail.ru