Параллельность плоскостей.Перпендикулярность прямой и плоскости

Параллельность плоскостей Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют ни одной общей точки. α∥β.
Признак параллельности двух плоскостей Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Если а∥а1 и b∥b1, то α∥β.
Свойства параллельных плоскостей
Если α∥β и они пересекаются с γ, то а∥b.   Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.	Если α∥β и AB∥CD, то АВ = CD.   Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Перпендикулярность прямых и плоскостей
Определение Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.
Теорема (ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ). Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
Теорема. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Теорема. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
Перпендикуляр и наклонная   Перпендикуляром, опущенным из данной точки данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра. Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.   AB – перпендикуляр к плоскости α. AC – наклонная, CB – проекция. С – основание наклонной, B - основание перпендикуляра.
Теорема о трех перпендикулярах   Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной.
Обратная теорема о трех перпендикулярах Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

«Решение задач на теорему о трех перпендикулярах»

Цель работы: Обобщить и систематизировать знания по теме «Перпендикулярность в пространстве»; закрепить умения использовать полученные знания для решения задач

Теоретические сведения к практической работе:

Опр.    Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90º.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

  Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

В задачах часто используется теорема о 3-х перпендикулярах:

  Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Обратная теорема

Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции.

Задания для решения:

№1. Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BF перпендикулярно его плоскости. Найдите расстояние от точки F до вершины C, если BF=8 см, сторона квадрата равна 4 см.

№2. Дан прямоугольник ABCD. Через вершину B проведена прямая BM перпендикулярно к его плоскости. Найдите AD, если AM=5 см, MD=8см.

№3. Через точку О пересечения диагоналей квадрата со стороной 5 см проведена прямая ОК=6 см перпендикулярно к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершины квадрата